Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
в. Покажите также, что этот тензор исчезает в плоском про-
странстве-времени тогда и только тогда, когда А = 0, т. е. когда
/|
он кратен тензору Эйнштейна Gap = р — у а р- (He беспокойтесь о доказательстве тождества V-G = O1 примите его как результат гл. 13.)
Ревуаьтвт: «Уравнение пола Эйнштейна»
В = 8яТ
УПРАЖНЕНИЯ
I
38 17. Как масса-энергия порождает кривизну
УПРАЖНЕНИЯ
17.2. Невозможность построения тензора из первых производных метрики
Покажите, что не существует тензора с компонентами, состоящими из 10 метрических коэффициентов gag и 40 их первых производных за исключением метрического тензора д и произведений его на себя, например д ® д. (Указание: Предположите, что такой тензор существует и рассмотрите его гипотетические компоненты в локально инерциальной системе отсчета.)
17.3. Тензор Римана как единственный тензор,
который строится из метрических коэффициентов и линеен по вторым производным метрики
Покажите, что 1) тензор Римана, 2) тензор д и 3) тензоры (например, тензор Риччи), образованные из тензора Римана иди линейные по тензору Римана, являются единственными тензорами, которые а) можно построить из IOgctp, 40 ga$-VL и 100 gap>liV и которые б) линейны по gaptliv. [Указание: Предположите, что существует другой такой тензор, и рассмотрите его гипотетические компоненты в ортонормальной риманово-нормальной системе координат. Используйте уравнения (11.30) и (11.32).]
17.4. Единственность тензора Эйнштейна
а. Покажите, что тензор Эйнштейна Gctp = /?„р — у Rga^—
единственный симметричный тензор второго ранга, который имеет 1) компоненты, сконструированные ТОЛЬКО ИЗ gap, gaQtlll fap.uvi 2) компоненты, ЛИНЄЙНБІЄ ПО gap,HV) 3) ТОЖДЄСТВЄННО равную нулю дивергенцию V-G = O и 4) исчезает в плоском пространстве-времени. Это дает дополнительный повод для выбора тензора Эйнштейна в качестве левой части уравнения поля Q = 8л Т.
б. Покажите, что если опустить условие «4», то наиболее общим тензором будет G + Ag, где А — постоянная. (О значении этого см. в § 17.3.)
§ 17.2. АВТОМАТИЧЕСКОЕ COXPAHEIfflE ИСТОЧНИКА: ДИНАМИЧЕСКАЯ НЕОБХОДИМОСТЬ
Соотношение G = 8лT теперь в нашем распоряжении. Выведено уравнение, связывающее «момент вращения» Эйнштейна — Кар-тана G с тензором энергии-импульса Т. Для какой же цели в первую очередь необходимо это уравнение? Если движение
J 17.2. Автоматическое сохранение источника: необходимость
39
I
материи определяется геометрией, а искривление геометрии определяется материей, то не гордиев ли узел у нас в руках? И как тогда его развязать?
Динамика геометрии по своему характеру не отличается Ot других разделов динамики. Чтобы предсказать будущее, необ* ходимо, во-первых, задать на «начальной» гиперповерхности «одновременности» положение и скорость каждой частицы й амплитуду и скорость изменения во времени каждого поля, подчиняющегося волновому уравнению второго порядка. Затем с помощью динамических уравнений можно проследить эволюцию частиц и полей во времени.
Аналогично, следует задать на «начальной» гиперповерхности геометрию и скорость ее изменения во времени, если уравнение поля Эйнштейна в состоянии полностью и детерминистически предсказать развитие во времени полной системы: частицы плюс поля плюс геометрия. (Подробнее см. гл. 21.)
Какое количество информации необходимо для предсказания геометрии? Геометрия пространства-времени описывается метрикой
ds2 = gafi (3і) doPdxР,
т. е. 10 функциями положения Sli в пространстве-времени. Поэтому может показаться, что необходимо предсказать 10 функций и для этого потребуется 10 уравнений. Однако это не так. Введем новый набор координат х& с помощью координатных преобразований
XP = Xa (г11)
и найдем ту же геометрию пространства-времени с теми же выпуклостями, вогнутостями и волнами, но полностью описываемую НОВЫМ набором метрических коэффициентов g-jj (3і).
Указать способ вычисления от прошлого к будущему значений всех 10 функций gap (Sfi) из соответствующих данных на «начальной гиперповерхности» было бы превышением полномочий эйнштейновского «геометродинамического закона» Q = 8л Т. Для предсказания всех 10 функций необходимо выбрать систему координат, но выбор между координатными системами—это именно то, что не входит в возможности и компетенцию геометродинамического закона. Сделать такой выбор — дело человека, изучающего геометрию, а не Природы, которая создает геометрию. Геометрия сама в себе, как автомобильное крыло само в себе, свободна от координат. Координаты — дело человека.
Из этого следует, что 10 компонент Gap = SnJap уравнения поля не должны определять полностью и однозначно все 10 компонент giiv метрики. Уравнения Gap = SnJctp должны налагать только 6 независимых связей на 10 функций ^liv (Ss), остальные 4 произвольные функции получаются путем специализации четырех координатных функций Xа (Э5).
Уравнение ПОЛЯ
Эйнштейна
определяет
эволюцию
геометрии
пространства-
времени
Уравнение В = 8яТ должно определять только в компонент метрического тензора; остальные четыре компоненты устанавливаются о помощью пре-» образований координат
