Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Например, для «измерения» метрики вблизи данного события обычно строят решетчатую конструкцию из стержней и часов (локальная ортонормальная система отсчета,. достаточно малая, чтобы можно было пренебречь влиянием кривизны), используя которую, определяют интервал между соседними событиями. Для измерения тензора римановой кривизны вблизи какого-либо события обычно исследуют вызываемое кривизной геодезическое отклонение (относительные ускорения) между мировыми линиями множества близких пробных частиц, причем если кривизна статична или медленно меняется, то измерения проводятся с помощью «гравитационного градиометра» (дополнение 16.5), если же кривизна быстро флуктуирует, то используют гравитационную волновую антенну (гл. 37). Для исследования крупномасштабной кривизны пространства-времени рассматриваются такие крупномасштабные гравитационные эффекты, как орбиты планет и спутников или искривление света солнечным гравитационным полем.
Ho какие бы аспекты тяготения ни измерялись и как бы они ни измерялись, всегда исследуется геометрия пространства-времени.
16.5. Гравитационный г радиометр
Гравитационный градиометр (дополнение 16.5) движется в искривленном пространстве-времени по ускоренной мировой линии. Вычислите амплитуду и фазу колебаний одного плеча градиометра относительно другого. [Указание: Расчет проведите в «собственной ¦системе отсчета» градиометра (§ 13.6), применяя базисные векторы, переносимые по Ферми — Уолкеру. Используйте следующее
Многоликооть тяготения в способы ее намерения
УПРАЖНЕНИЕ
I
УПРАЖНЕНИЕ
30 IS. Принцип эквивалентности
уравнение для относительного углового ускорения плечей:
2ml2 (а + а/Тп + (оЛх) = ( вращающий момент, созданный \
\ римановой кривизной ) »
где
2ml2 — момент инерции одного плеча,
а — угловое смещение плеча от положения равновесия,
Y + 2а — угловое расстояние между плечами,
2т12(й\ — постоянная кручения пружины,
O0 — угловая частота свободных колебаний,
T0 — время затухания свободных колебаний под действием внутренних сил трения.
Если I — вектор, направленный от центра масс градиометра к массе 1, то имеем
/кривизна, созданная при ускорении \ _
\массы 1 относительно центра градиометраJ * —
= (-?-) =-HstuSr;
\ / геодезическое
отклонение
/крутящий момент относительно \ __
\ центра градиометра, действующий на массу Iyf
= еГ}$1 mRk о Такой же момент действует на массу 4 (с заменой % на — |), поэтому для получения полного момента, действующего на плечо 1—4, необходимо удвоить приведенное выше выражение. Компоненты RaS? о тенз0Ра Римана можно рассматривать как компоненты 3x3 симметричной матрицы. Подходящей ориентацией пространственных осей системы отсчета (ориентация вдоль «главных осей» Rggffi) можно привести R % g к диагональной форме в некоторый начальный момент времени
Rx о S о ^ °' КІ о S S °' о Ї о °’ все ДРУГие компоненты исчезают.
Предположите, что тензор Римана достаточно медленно изменяется вдоль мировой линии градиометра, так что в течение всего эксперимента тензор R'jfi^fi остается диагональным и постоянным. Для
простоты поместите градиометр в плоскости ху, так чтобы он
1
вращался вокруг оси z с угловой скоростью ш « у ш0:
/угол плеча 1-4 v ^
\ отсчитываемый от оси х J
Покажите, что получающееся в результате уравнение колебаний имеет вид
а + а/То + Щ2а = -І- (R ~ в - s — R ~ s д 5) sin 2аЛ,
§ 16.5. Намерение гравитационного поля 31
а стационарные колебания будут описываться формулой упражнение
т < 2 ^yOy 0] ,Ofllf >
« = Im I п --------п 1 -,о ч Є Г .
I 2со0 (со0 — 2со + s/2t0) )
Таким образом, измеряя для фиксированной угловой скорости со (например, 2со = со0) амплитуду и фазу колебаний, можно определить величину и 8нак разности —Ryf>yo' Разности
Rioio-R16?o *R;o~zo-R:oZo можно измерить, располагая
ось вращения градиометра вдоль осей х и у соответственно.]
Дополнение 16.5. ГРАВИТАЦИОННЫЙ ГРАДИОМЕТР ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ РИМАНОВОЙ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
Этот' гравитационный градиометр был сконструирован и создан Робертом Фор вардом и его сотрудниками из Хьюз Резерч лаборатории, Малибу, Калифорния
Он измеряет риманову кривизну пространства-времени, создаваемукГсоседними массами. Поместив более совершенный вариант такого градиометра в самолет, пролетающий над поверхностью Земли, можно будет измерить поверхностные колебания массы, вызванные изменениями геологической структуры. В спутнике, обращающемся вокруг Земли, такой градиометр может измерять мультипольные
I
32 IS- Принцип эквивалентности
моменты гравитационного поля Земли. Технические детали градиометра разобраны в статьях Форварда [42] и Белла, Форварда и Вильямса [43]. Принципы действия описаны ниже.
Градиометр состоит из двух ортогональных плачей с массой т на концах, соединенных в центре упругой пружиной.
Если плечи закрутить, нарушая их ортогональную ориен-Закручиввющая тацию, они будут осциллировать. Для измерения ампли-пружина туды колебаний используется пьезоэлектрический датчик
