Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
напряжений.
Если градиометр поместить вблизи массы М, то из-за градиента гравитационного поля M (т. е. из-за кривизны пространства-времени, созданной М) на него будет действовать закручивающий момент. Ньютоновские силы F1 и Ft больше, чем .Fs и F4, поэтому закручивающий момент заставляет сближаться друг с другом массы 1 и 2 и удаляться друг от друга массы 3 и 4. [Замечание: Силы F1, F2, F3, Fi зависят от того, падает ли градиометр свободно (геодезическое движение; V11U =0) или он движется по ускоренной мировой линии. Однако закручивающий момент не зависит от ускорения, ускорение вызывает одинаковые ньютоновские силы, действующие на массы, поэтому результирующий закручивающий момент будет равен нулю.] В процессе работы градиометр вращается вокруг своего центра с угловой скоростью ш. При вращении закру-
cit — 0
rot — п/4
at * п/2
§ 16.5. Намерение гравитационного поля 33
I
чивающий момент, действующий на его плечи, осциллирует:
при at = 0 результирующий закручивающий момент
толкает массы 1 и 2 по направлению друг к другу, при (at = я/4 результирующий закручивающий момент равен нулю;
при cat = п/2 результирующий закручивающий момент расталкивает массы 1 и 2.
Угловая частота колебаний закручивающего момента равна 2(0. Если частоту 2ш положить равной со0 г (естественной частоте колебаний плечей), то осциллирующий закручивающий момент приведет плечи в резонансное колебание. Результирующая амплитуда колебаний в градиометре образца 1970 г. легко регистрировалась для градиентов гравитационного поля (римановых кривизн)
риманова кривизна, создаваемая на расстоянии 15 км горой высотой 2 км, смоделированной двухкилометровым кубом. (При такой идеализации пренебрегается изостазией и любым понижением плотности земной коры в горных областях.)
Математический анализ градиометра см. в упражнении 16.5.
3—01508
I
17. КАК МАССА-ЭНЕРГИЯ ПОРОЖДАЕТ КРИВИЗНУ
В этом параграфе выводится «уравнение поля Эйнштейна»
Физический мир представляет собой четырехмерный континуум. Если я принимаю в нем риманову метрику и ищу простейшие законы, которым может
удовлетворять метрика, то я прихожу к релятивистской теории тяготения в пустом пространстве.
Если же я выбираю в этом пространстве векторное поле или выведенное из него поле антисимметричного тензора и ищу простейшие законы, которым может удовлетворять такое поле, я прихожу к уравнениям Максвелла в пустом пространстве. ...в любой данный момент одно из всех возможных построений всегда оказывается абсолютно высшим по отношению ко всем остальным...
АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН, 1934 г.»)
§ 17.1. АВТОМАТИЧЕСКОЕ СОХРАНЕНИЕ ИСТОЧНИКА КАК ВАЖНЕЙШАЯ ИДЕЯ ПРИ ФОРМУЛИРОВКЕ УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ
Рассмотрев влияние геометрии на материю (движение по геодезической нейтральной пробной частицы; правило «запятая переходит в точку с запятой» для динамики вещества и полей), обратимся к исследованию влияния материи на геометрию.
Масса является источником тяготения. Плотность массы-энергии, измеренная любым наблюдателем, движущимся со скоростью
II, равна
P = u-T-u = иаТа$и$. (I?-!)
Следовательно, тензор энергии-импульса T представляет собой не зависящий от системы отсчета «геометрический объект», который должен действовать как источник тяготения.
Этот источник, этот геометрический объект, не является произвольным симметричным тензором. Чтобы удовлетворить закону сохранения энергии-импульса, дивергенция такого тензора должна равняться нулю
V-T = O. (17.2)
Поместим этот источник T в правую часть уравнения генерации тяготения. В левой части уравнения будет стоять геометри-
Из книги [44], стр. 18.
§ 17.1. Автоматическое сохранение источника как важнейшая идея 35
I
ческий объект, характеризующий тяготение. Такой объект, как и Т, должен быть симметричным тензором, дивергенция которого равна нулю, и, поскольку он будет характеризовать тяготение, он должен быть построен только из геометрии пространства-времени. Назовем этот объект «тензором Эйнштейна» и обозначим его через G. Таким образом, уравнение генерации тяготения гласит
G = хТ. (17.3)
t-----коэффициент пропорциональности,
который будет вычислен позже (He предполагайте, что G — тот самый тензор Эйнштейна, с которым мы сталкивались в гл. 8, 13—15; это будет доказано ниже!)
Равенство нулю дивергенции V -G не нужно рассматривать как следствие уравнения V-T = 0. Скорее выполнение закона сохранения V-T = O для вещества и полей следует рассматривать 1) как следствие формулы [см. (17.3)], которая связывает их с геометрией пространства-времени, и 2) как следствие, требуемое и усиленное автоматическим законом сохранения или тождеством, справедливым для любого гладкого физического или нефизического риманова пространства-времени: V-G = O (более полное обсуждение см. в гл. 15, а более полное обоснование см. в § 17.2). В соответствии с этим ищем симметричный тензор G, который является «автоматически сохраняющейся мерой кривизны пространства-времени» в следующем смысле:
1) G исчезает в плоском пространстве-времени;
