Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
412 27. Идеализованные космологические модели
5) причинная изоляция различных областей Вселенной друг от друга
УПРАЖНЕНИЯ
статична. Кроме того, граница раздела между ячейками определяется воображаемым разбрызгиванием пробных частиц, настолько легких, что они не оказывают влияния на ее геометрию или динамику. Имеется гладкий переход от геометрии в одной ячейке к геометрии в следующей ячейке («касание двух геометрий»). Нет ничего ненормального где бы то ни было в пространстве-времени на границе раздела и вблизи нее. Мы не имеем права утверждать, что эти кубические километры «рождаются» здесь или где-нибудь еще. Разговор о «рождении» пространства не корректен, а потому первоначальный вопрос плох. Правильно говорить о динамике геометрии. Это все, что касается одного вопроса!
При графическом изображении динамики геометрии фридмановской Вселенной часто дело упрощается, если в качестве пространственной координаты взять гиперполярный угол х, измеренный от некоторой мировой линии (движущейся с «космологической жидкостью»), выбранной в качестве стандарта отсчета, а в качестве координаты времени взять параметр дуги т], как это проиллюстрировано на фиг. 27.4.
При внимательном изучении (%, !^-диаграммы становится ясным, что фотоны, испущенные веществом в одной точке, не могут в ограниченное время достичь какого-либо вещества, кроме того, которое расположено в ограниченной части 3-сферы. Согласно дополнению 27.3, за короткое время t фотон может пройти лишь дуговое расстояние на 3-сфере, равное ц = (2t/a*)1/2. Более того, то, что справедливо для фотонов, справедливо и для других полей, сил, давлений, энергий и воздействий: они не могут выйти за этот предел. Очевидно, в момент времени t 3-сфера разделена на ряд «зон»
і гиперсферический телесный угол
N = I число \ = V полной 3-сферы
)
^«зон» ) і гиперсферический телесный угол j
\ одной зоны
2л2 Зя I а* \з/а
4ях3/3 26/2
( jTl)873. (27-62)
не связанных друг с другом. С ходом времени число разделенных зон уменьшается, и в конечном счете каждая частица испытает воздействие со стороны каждой другой частицы в модели Вселенной.
27.8. Эпоха преобладания вещества и эпоха преобладания излучения во фридмановской космологии
Выведите результаты, перечисленные во втором и третьем столбцах дополнения 27.3, за исключением фокусирующих свойств искривленного пространства.
§ 27.10. Элементарная фридмановская космология Вселенной 413
2
27.9. Переход от эпохи преобладания излучения к эпохе упражнения преобладания вещества
Включив оба члена, связанных с излучением и веществом, в уравнение (27.51), переформулируйте его, введя в качестве независимой переменной параметр дуги т) (с dr) = dt/a); проинтегрировав получившееся уравнение, найдите
а — (^макс/2) — [(амакс/2)2 + a*2]v*cos (tj + 6), (27.63)
t = (а„акс/2) Т| — [(«макс/2)2 + a*2]1'2 [sin (T) + 6) — sin 6], (27.64)
где
fi = arc tg [а*/ (ймакс/2)]. (27.65)
а. Проверьте, что при подходящих условиях соотношение между радиусом и временем в ранний период представляет собой уравнение «окружности», а в более поздний период — уравнение «циклоиды».
б. Припишите а*г значение аоамакс/10 ООО (почему?) и постройте кривые зависимости безразмерных мер плотности
!Рвещ Ризл Рвещ Ризл
і:
от безразмерной меры времени
Ig (t/ймакс)-
Какие выводы вытекают из рассмотрения логарифмического наклона этих кривых?
27.10. Расширение и повторное сжатие сферического волнового фронта
На «северном полюсе» фридмановской модели Вселенной в эпоху преобладания вещества, когда параметр дуги т| = п/3, а радиус Вселенной достиг половины своего максимального значения, произошел взрыв. Фотоны от взрыва разлетаются в виде сферического волнового фронта. Через какое относительное количество «космологической жидкости» проникнет волновой фронт в тот момент, когда собственная площадь поверхности волнового фронта имеет наибольшую величину?
2
414 27. Идеалиаоеанные космологические модели
Дополнение 27.3. РЕШЕНИЯ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФРИДМАНОВСКОЙ ЗАКРЫТОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВСЕЛЕННОЙ В ДВУХ ПРЕДЕЛЬНЫХ СЛУЧАЯХ: 1) ПРЕОБЛАДАЕТ ВЕЩЕСТВО,
А ИЗЛУЧЕНИЕМ МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ, 2) ПРЕОБЛАДАЕТ ИЗЛУЧЕНИЕ, А ВЕЩЕСТВОМ МОЖНО ПРЕНЕБРЕЧЬ
Идеализация динамики 3-сферы
Преобладает вещество
Преобладает излучение
Когда уместно рассматривать модель?
Эффективный потенциал в уравнении
(i)*+FW-
•1
Начиная от красных смещений z ~ 10 ООО до сегодняшнего момента и до фазы максимального расширения и повторного сжатия до размеров, примерно в 10000 раз меньших современных размеров
Значение постоянной в этом «потенциале», выраженное через условия в некоторую стандартную эпоху
Решение динамических уравнений, выраженное через «параметр дуги» т) (дуговое расстояние на 3-сфере, измеренное в радианах и проходимое фотоном, движущимся с момента начала расширения)
К(а)=-.
8я
амакс
вмакс-------j" а0Рвещ., о
O=-SSBS. (I-Cosn)
г =
-(Ti-Sinri)
Очень ранняя фаза расширения, красные смещения z ~ 1000 и больше; соответствующая фаза на поздних стадиях сжатия; непосредственно в современный момент модель неуместна
