Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичным образом в более общих задачах при отсутствии симметрии можно всегда исключить некоторые из динамических уравнений поля, однако если присутствует гравитационное излучение, то исключить все из этих уравнений становится невозможным. Динамические уравнения поля, которые нельзя исключить даже в принципе, определяют распространение гравитационных волн. В идеально однородной и изотропной космологической модели гравитационные волны отсутствуют; высокая симметрия модели, в частности ее сферическая симметрия (2-сфера!) относительно % = 0, несовместима с гравитационными волнами.
Вернемся теперь от общей динамики к фридмановской космологии. Для определения временной зависимости коэффициента расширения а подставим в уравнение для начальных значений (27.39а) выражение для плотности массы-энергии, задаваемое формулой (27.35а), и получим уравнение, готовое для интегрирования: ^ 2 к , Л , 8лрвещ , 0а®/3 i 8яризл., 0а‘/3 /С)Г7
^-------1------л-------¦ -ЬЩ
№)-
опускают (8я/3) р (а)
Проинтегрировав это уравнение для a = a (t), возвращаемся к выражениям (27.35а), (27.356) и (27.24) и получаем р (t), р (t) и геометрию
•ds2 = - dt2 + a2 (t) [dx2 + 22 (d02 + Sin2Orf^2)] (27.41)
и таким образом завершаем решение задачи.
§ 27.9. Временные параметры и постоянная Хаббла 403
2
§ 27.9. ВРЕМЕННЫЕ ПАРАМЕТРЫ И ПОСТОЯННАЯ ХАББЛА
Многие исследователи, начиная с самого Фридмана (1922 г.), внесли свой вклад в рассмотрение этой динамической проблемы. Среди прочих результатов они открыли, что имеется три естественных выбора переменной времени; какой из них наиболее полезен — зависит от рассматриваемого приложения.
Первый выбор — подлинная переменная времени t. Эта величина непосредственно представляет собственное время, протекшее с момента начала расширения. Это время образования галактик. Это также время, в течение которого имеет место радиоактивный распад и другие физические процессы.
Второй выбор — коэффициент расширения a (t), который растет со временем, а потому позволяет отличить одну фазу расширения от другой и, следовательно, с полным правом может рассматриваться как параметрическая мера времени. Отношение a (t) в два момента времени дает отношение размеров Вселенной (корень кубичный из объема) в эти два момента времени. Оно дает также отношение длин волн (I + z) в эти два момента времени (см. § 29.2). Если известно красное смещение z, которое испытало в прошлом излучение, принятое сегодня, то, значит, известно отношение a (t)/a0, где а0 — современное значение коэффициента расширения. Характерно, что излучение, принятое с Z = 999,— это излучение, пришедшее с того момента, когда размеры Вселенной составляли IO-3 ее современных размеров, а ее объем составлял IO-9 современного объема. Согласно (27.40), промежуток собственного времени, протекший в течение интервала времени, при котором параметр расширения увеличился от а до a + da, равен
dt =--------------------------rj- . (27.42)
[ — *+(8я/3) а2р (а)+ (Л/3) я2]1/а опускают
Из формулы (27.42) следует, что метрика, выраженная через новый временной параметр а, принимает вид [380]
ds* = -* + ( 8я/зГДы + (Л/3)^ + “2 [d%* + 22 (Й02 + 8ІП2 6 d*2)] ¦
(27.43)
опускают
Третий выбор — «параметр дуги» т| (t). В течение интервала времени dt фотон, движущийся по гиперсфере радиусом a (t), проходит дугу dr\ (измеренную в радианах)
(27-44)
Если рассматривается не закрытая, а открытая модель Вселенной, то можно определить тот же параметр ц (t). Только слова
26*
Три выбора переменной времени для Вселенной:
1) собственное время і
2) їкоаф фициент расширения а
3)' параметр дуги Ti
404 \27. Идеализоеанние космологические модели
«гиперсфера» и «дуга» следует заменить на соответствующие слова для плоской гиперповерхности однородности (к = 0) или гиперболической гиперповерхности (к = — I). Во всех трех случаях «параметр дуги» определяется как интеграл от выражения (27.44), взятый от начала расширения
(27'45)
0
поэтому малые значения параметра дуги ц отвечают ранним временам, а большие значения — более поздним временам от начала расширения. Метрика, выраженная через эту меру времени, принимает вид
ds2 = a2 (rj) [ — dr|2-|-d%2 -j~ S2 (d02 4-sin20 d^2)], (27.46)
Пусть в момент времени т] = Tj1 с «северного полюса» 3-сферы (% = 0; любые 0 и ф) испущен фотон. Тогда к моменту времени tj = Tja фотон приходит в новую точку на гиперповерхности и встречается с новым набором частиц «космологической жидкости». Они лежат на Гиперполярном угле
X = Th — тіі-
Если на листке бумаги попытаться построить пространственно-временную диаграмму, чтобы показать, что происходит при распространении эффекта во Вселенной от одной точки к другой, то оказывается наиболее удобно выбрать 1) % в качестве пространственной координаты (истории жизни отдельных частиц «космологической жидкости», таким образом, представляются отдельными вертикальными линиями) и 2) т) в качестве координаты времени (так что фотоны описываются линиями с углом наклона ±45°). Если прослеживать ход нулевых геодезических, то нельзя найти более естественного параметра времени, чем т]. В качестве примера см. трактовку космологического красного смещения, приведенную в § 29.2. Оказывается также, что проще получить аналитически (при А равном нулю) а = а (т|) и t = t (т|), чем получить непосредственно а как функцию времени. Например, размер а и время, измеряемое параметром дуги tj, связаны формулой
