Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
О < х < L, 0<у С L1 О < z < L,
и отождествим противоположные грани (процесс аналогичен скатыванию листа бумаги в трубку и склеиванию его краев; подробное обсуждение см. в последних трех абзацах § 11.5). Получившаяся геометрия по-прежнему описывается линейным элементом (16), однако все три пространственные координаты теперь, подобно координате ф в сферической системе координат, являются «циклическими».
Событие (Z, х, у, z) совпадает с событием (t, х + Ly у + L, z + L).
Однородные гиперповерхности теперь представляют собой «3-торы» конечного объема
V = a3L3, .
2
398 27. Идеалиаоеанные космологические модели
аналогичные 3-торам, которые фигурируют под названием «периодические граничные условия» при рассмотрении электронных и акустических волн в твердых телах и электромагнитных волн в пространстве.
Другой пример: 3-сфера, описанная выше в п. А (случай «положительной кривизны») имеет такую же геометрию, что и многообразие группы вращений SO (3), HO другую топологию (см. упражнения 9.12, 9.13. 10.16 и 11.12). Более подробное обсуждение см., например, в [377—379].
§ 27.7. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Уравнение Эйлера для однородной Вселенной бессодержательно
«Уравнения состояния» для вещества и излучения
Завершив рассмотрение отдельной гиперповерхности однородности, вернемся к динамике Вселенной. Исследуем прежде всего эволюцию жидкости, определяемую законом V T = 0.
Напомним (§ 22.3 и 23.5), что для идеальной жидкости уравнения движения разбиваются на две части. Компонента вдоль
4-скорости, U-(V-T) = 0, приводит к первому закону термодинамики:
(d/dt) (рV) = — р (dV/dt), (27.28а)
где V — объем любого жидкого элемента. Компонента, ортогональная 4-скорости, (д + u<8>u) -(V -Т) =0, приводит к «уравнению Эйлера»
(Р + Р) X (4-ускорение) =—(компонентаТр, ортогональная и).
(27.286)
Для статической звезды (§ 23.5) первый закон термодинамики бессодержателен, однако уравнение Эйлера было решающим. В случае однородной Вселенной справедливо обратное: уравнение Эйлера бессодержательно (нет ускорений), однако первый закон термодинамики является решающим.
Чтобы убедиться в бессодержательности уравнения Эйлера достаточно заметить, что изотропия гарантирует обращение в нуль обеих сторон уравнения (27.286). Если бы одна из сторон этого уравнения в каком-либо событии Si была отлична от нуля, то это выделило бы некоторое направление на однородной гиперповерхности В
Применяя первый закон термодинамики (27.28а) к космологии, выделим в плотности и давлении вклады, создаваемые веществом и излучением
P = PBem-I-PHani P = Рвещ Риз л- (27.29)
Обсудим сначала плотность массы-энергии. Современная плотность вещества рвещ (>10-31 г/см8) значительно превышает плотность излучения риал (~10_за г/см3). Вещество не всегда преобладало, поэтому нельзя положить ризЛ = 0. Обсудим теперь давление. В эпоху, когда давление во Вселенной было космологически существенно, ризл значительно превышало рвещ- Следовательно,
§ 27.7. У равнения движения жидкости 399
во все времена можно пренебречь рвещ и, воспользовавшись «урав-
1
НЄНИЄМ СОСТОЯНИЯ» ДЛЯ ИЗЛуЧеНИЯ Ризл = у Ризл) записать
P = Рвеш “Ь Риал» P = "д" Ризл- (27.30)
Подставляя (27.30) в первый закон термодинамики (27.28а), по-лучаем
(d/dx) (рвещУ) + (d/dr) (риэлУ) = —ризл "2т”' (27.31)
Это уравнение нельзя проинтегрировать до тех пор, пока неизвестно, как перераспределяется масса-энергия между веществом и излучением, т. е. до тех пор, пока не известно другое соотношение между рвеш У и ризл У- Все оценки показывают, что, за исключением первых нескольких секунд жизни Вселенной, обмен энергией между излучением и веществом был пренебрежимо мал по сравнению с Peeui У и ризл У в отдельности (см. § 28.1). При этих условиях уравнение (27.31) можно разбить на две части:
(27.32а) (27.326)
и
(27.33а)
(27.336)
2
Обмен эвергве* между веществом в валучеввем пренебрежвмо мал
(d/dx) (9вещУ) = 0
(d/dx) (РиэлУ) “Ь "д" рнзл^У/dx = 0.
Решить эти уравнения не составляет труда:
рвещ У = const (сохранение вещества)
и
РизлУ4/3 = const = У (постоянство числа фотонов) t
с точностью до коэффициента пропорциональности это есть энергия одного фотона hc/X
Здесь У — объем любого жидкого элемента. Для жидкого элемента со сторонами А/, А6, Аф он равен
У = а32* sin 6]Ах AG Аф,
где координаты %, 0, ф постоянны вдоль каждой мировой линии жидкости (сопутствующие координаты). Поэтому элемент гипер-сферического телесного угла S8 sin 0АхА()Д ф (или псевдогипер-сферического телесного угла в модели открытой Вселенной) для любого жидкого элемента постоянен в течение всего времени. Следовательно, объем жидкого элемента растет прямо пропорционально кубу параметра расширения а
V/aa = const.
Используя этот результат. и постоянство рвещУ и ризлУ4/з, мы видим, что
Peemfl3 = const, ризл®4 = const. (27.34)
Использование первого закона термодинамики для выражения нлотностеб вещества ¦ излучения черев коэффициент расширения
