Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ризл = 3/32 nt2. (27.66)
Только на более поздней стадии расширения, когда «внешняя кривизна* [уравнение (2) дополнения 27.1] (6/аа) (с?а/сЙ)2(перво-начально, согласно дополнению 27.3, изменяющаяся как 1,5 t~2) оказывается величиной того же порядка, что и «внутренняя кривизна» ±6 Ia2 (первоначально изменявшаяся как ±За*-1?-1), становится существенным знак внутренней кривизны. Лишь тогда в скорости расширения появляются различия для открытой модели Вселенной и для закрытой.
Открытая модель всегда расширяется. Поэтому плотность массы-энергии (пропорциональна ли она амакс/а3 для модели, в которой преобладает вещество, или пропорциональна а*2/а* для модели, в которой преобладает излучение, или пропорциональна некоторой комбинации этих зависимостей) 1) в конце концов становится пренебрежимо малой по сравнению с внутренней кривизной — 6/а2 и 2) после этого ею можно пренебречь. При таких обстоятельствах единственным членом, уравновешивающим внутреннюю кривизну, является внешняя кривизна. Основная компонента уравнения поля (после сокращения всех членов на общий множитель 3) принимает теперь вид
гг(§Г-^=°- <27-67>
Для замкнутой Вселенной два члена (1/6 внешней кривизны и 1/6 внутренней кривизны) имеют одинаковый знак и любое урав-
2) ранняя стадия та же , что и для замкнутой Вселенной
3) поздняя стадия —вечное расширение
27—01508
2
418 27. Идеалиаованные космологические модели
Однородные космологические модели с Л Ф 0:
1) уравнение, описывающее эволюцию R оаф ф ициента расширения
нение типа (27.67) невозможно. Здесь, однако, имеем замечательно простое решение
a = t (27 М}
и соответствующую метрику
ds2 = —dt2 + t2 [d%2 + sh2 % (d02 + sin20d^2)].
(27.69)
Запишем
Г = 1 Sh Ъ Ґ97 7П\
tHOB = t ch х (27.70)
и найдем, что (27.69) — решение эйнштейновского уравнения
поля в пустом пространстве, тождественное метрике Минков-
ского — Лоренца плоского пространства-времени
ds2 =4—Л?ов+ dr2 + т2 (dQ2 + sin2 Ыф2) (27.71)
(см. дополнение 27.2, п. В). Эта геометрия приобрела особенность расширяющейся Вселенной, поскольку космологическая
жидкость, распределенная слишком разреженно, чтобы оказывать влияние на динамику геометрии, и служащая лишь для получения меченых точек, разлетается во всех направлениях (более подробное обсуждение этой «расширяющейся Вселенной Мин-
ковского» см., например в гл. 16 книги Робертсона и Нунана [24])„ Типичная пространственноподобная гиперповерхность однородности по виду имеет искривленную трехмерную геометрию и должна иметь искривленную геометрию (внутренняя кривизна), поскольку сечение (27.70)плоского пространства-времени самоискрив-лено (внешняя кривизна).
Обратимся теперь ко второму нарушению эйнштейновского понимания космологии — космологическому члену в уравнении поля (27.39):
/ daldt \2 к Л 8л , . 8лрвещ., oal/3 8npHajbl 0“о/3
I—5— ) —Г = Тр(а) =---------------------------------P-3-¦
(27.72)
При анализе смысла этого расширенного уравнения оставим без внимания сам «радиус» a (t), на котором мы сосредоточивали интерес в § 27.10, посвященном фридмановской космологической модели. Признаем, что современные измерения пока не дают надежной и прямой трактовки абсолютной величины размера Вселенной a (t). Однако они дают надежные цифры для красного смещения z, а следовательно, для отношения радиуса а в момент испускания к радиусу а — а0 сегодня
а0/а — 1 -Ь z. (27.73)
Для сравнения с наблюдениями, в которых делаются попытки установить пределы к (эйнштейновское значение к = +1) и Л (она ожидается равной нулю), предшествующие уравнения следует переписать так, чтобы в них по возможности входили только
27.11. Однородные изотропные модели Вселенной 419
2
отношения. Например, (27.72) запишем в виде «обобщенного уравнения Фридмана»:
1тг№) ^ (27.74)
Здесь величина
V (а/а0) ^ д-[рВещ., о(-^-)+Ризл„ о (—f-) J-(27-75)
выступает в качестве «эффективного потенциала» для случая динамики расширения. Постоянный член K0 равен 1/6 от современного значения внутренней кривизны модели Вселенной. Взятый со знаком минус (—K0), он играет в обобщенном уравнении Фридмана роль «эффективной энергии» (дополнение 27.5). Все качественные особенности космологической модели можно вывести из вида кривой зависимости эффективного потенциала от (а/а0) и величины K0.
Для количественного анализа часто более удобно использовать логарифмическую зависимость (фиг. 27.5), чем непосредственную линейную зависимость V от (а/а0) из дополнения 27.5.
Co всеми предельными особенностями, появляющимися в космологических моделях различных типов, мы уже встречались прежде при рассмотрении элементарной фридмановской космологической модели («большой взрыв» из состояния неограниченного сжатия; достижение максимума расширения в точке поворота или непрерывное расширение к Вселенной Минковского; коллапс в состояние бесконечной плотности), или их можно просто представить себе (статистическая, но не устойчивая Вселенная Эйнштейна; «колебательная» модель; «поворотная» модель), за исключением такого более быстрого расширения, которое имеет место, если величина А положительна, а размер а превышает определенное критическое значение. При этом расширении а в конечном счете возрастает как [(Л/З)1/^] безотносительно к тому, открыта или замкнута Вселенная (А = 0, ±1). Расширение является главной особенностью космологической модели. Следовательно, все другие особенности космологической модели уместно опустить при обсуждении, считать плотность вещества пренебрежимо малой и взять к — О (гиперповерхности однородности обладают плоской пространственной геометрией). В этом пределе для эйнштейновского уравнения поля с космологической постоянной в пустом пространстве имеем следующее решение:
