Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = —dt2 + а“е2 (Ло/311/*» [dy* + х2 (d0* + Sin2 Qdfz)].
(27.76)
Эту «Вселенную де Ситтера» [387 , 388] можно рассматривать как четырехмерную поверхность
2) качественные
особенности
вволюцнн
8) Вселенная Де Ситтера
-(г0)2 + (г1)2 + (г2)2 + (г3)2 + (z4)2 = 3/А (27.77)
27*
420 27. Идеалиаоеанные космологические модели
о/о„
IO'4
10'
10*
I
Зависимость (в логарифмическом масштабе) эффективного потенциала V (а) [формула (27.75) и дополнение 27.5], входящего в обобщенное уравнение Фридмана
[4(-№М*)~-?--*•
от а/а0. По горизонтали отложено относительное расширение а/а0 причем в качестве стандарта для отсчета выбрано (а/а0)сегодня= 1- По вертикали отложена^величина V (ala0) в геометрических единицах (в см-а). На дополнительной шкале справа отложена (эквивалентная V) плотность — (CiIG) х X (3/8я)7 (а/а0), выраженная в г/см3. Волнистая линия на диаграмме — вклад плотности излучения в аффективный потенциал. Она нормирована на величину плотности излучения сегодня рг,0 = риал.ю = IO"33 г/см3 и логарифмический наклон этой линии равен 2. Вклад плотности вещества в «аффективный потенциал» имеет логарифмический наклон, равный 1. Выбраны два случая, соот-
§ 27.11. Однородные иаотропные модели Вселенной 421
ветствующие сегодняшней плотности вещества рт0 = Рвещ.,о = 10~80 г/см3 и Рвещ.,о= 10-« г/см3 (пунктирные линии на диаграмме). Полный эффективный потенциал для каждого из этих двух случаев также указан на диаграмме: жирная линия — для Рвещ.,о = Ю-30 г/см3 (без учета космологического члі'на); тонкая линия—для Рвещ.,о= IO-28 г/см3. Во втором случае учтен космологический член с космологической постоянной, определяемой из равенства (3/8тс) (А/3) = = IO-29 г/см3. Линия, описывающая вклад этого члена, имеет отрицательный наклон, равный по величине 2 (пунктирная линия). Горизонтальной линией или «линией уровня» изображена современная величина хаббловской скорости расширения H0, равная 1/(20-108 лет). Вертикальное расстояние в логарифмическом масштабе между потенциальной кривой и линией уровня дает отношение —VlH20. Это отношение, вычисленное в любой момент времени t,
имеет величину а2 (г)/а® + K0H~2, где a = daldt. Вычисленное «сегодня» (ala0 = 1) это отношение имеет величину 1 + К0Н~г. Зная современную хаб-бловскую скорость расширения Н\ и зная (или подбирая определенный набор параметров) потенциальную кривую, можно получить по известному разбросу между двумя значениями I + K0H'2, а следовательно, по известной величине K0Hg2 и современному значению K0, множитель кривизны.)В качестве примера рассмотрим случай Вселенной с низкой плотностью (жирная линия) с «современной» величиной 1 + К0Н~г = 0,223. Откуда следует, что K0 = = —0,777 H2 (открытая или гиперболическая Вселенная и, следовательно, к = — 1 и а0 = (klK0)1!2= (1/0,777)1/2 20-109 лет =| 22,7-IO9 лет. Для модели Вселенной с высокой плотностью с Рвещ.,о — Ю-28 г/см3 находим аналогично 1 + К0Н~г = 24,5 и, следовательно, K0 = +23,5 H2, к = +1 (замкнутая Вселенная) и aQ = {к! K0)1/2 = (1/23,5)V220-IO9 лет = 4,12-IO9 лет. Расширение останавливается (если и когда оно останавливается) на той стадии, когда отношение —VlH2 между линией потенциала и линией уровня или
a2 (t)la20 -f К0Н~2 падает от «современного значения» 1+ К0Н~2 до величины 0 -+- K0Hg2, т. е. от 0,223 до —0,777 в одном случае и от 24,5 до 23,5 в другом случае. Если Л < 0, то график в логарифмическом масштабе следует заменить графиком в линейном масштабе (дополнение 27.5).
в пятимерном пространстве, обладающем метрикой
(ds)2 = -(dz0)2 + (dz1)2 + (dz2)2 + (dz3)2 + (dz4)2. (27.78)
Корректность такого описания можно проверить непосредственно, сделав подстановки
Z0 = (3/A)1/ash [(Л/3)1/гі] + 1 (A/3)l/teWn1/2*a*x*,
z4 = (3/A)1/zch [(A/3)1/2f] - I (Л/3)1/2 e<W4i20C2,
z1 = a0e(A/3)Vat ^ sin 0 cos ф, (27.79)
z2 = a0e<A/3)1/2i % sin 0 sin ф,
z3 = a0e cW'4Xcos8.
Из-за своих прекрасных теоретико-групповых свойств и инвариантности относительно 5 -iIi = 10 независимых вращений геометрия де Ситтера была объектом множества математических исследований. Физические следствия космологической модели де Сит-
2
422 27. Идеалиаоеанные космологические модели
другие
(неэйнштеинов-
окие)
космологические
модели:
1) стационарная] модель
2) иерархическая модель
тера описали, например, Робертсон и Нунан [24] (см. в особенности § 16.2 их книги). Модель де Ситтера представляет собой единственную модель, подчиняющуюся уравнениям Эйнштейна (Л Ф 0); она 1) непрерывно расширяется и 2) выглядит одинаковой для любого наблюдателя, движущегося с космологической жидкостью, независимо от его положения и времени. Говорят, что любая модель, удовлетворяющая условию 2, подчиняется так называемому «совершенному космологическому принципу». Это выражение возникло в прошлом при изучении моделей, которые не описывались в рамках общей теории относительности и в которых рассматривалось непрерывное рождение вещества; они получили название «стационарной Вселенной». Большинство иссла-дователей в настоящее время отказалось от любых подобных моделей по крайней мере потому, что эти модели не дают удовлетворительного объяснения фоновому излучению с температурой
