Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
400 27. Идеализоеанние космологические модели
Эйнштейновское уравнение поля для однородной Вселенной:
Пусть Рвещ., о —современная плотность вещества, ризд., о — современная плотность излучения и а0 — современный коэффициент расширения Вселенной. Тогда в любой момент времені в прошлом
р (Z) = Рвещ., о аз ф "ЬРизл.,0 а4 (j) (27.35а)
и
P (0 = "з" Ризл., о a*{t) ' (27.356)
Приведенные результаты основаны на двух ключевых утверждениях, справедливость которых будет показана в гл. 28: 1) в эпоху, когда давление было существенно, величина рвещ была много меньше рИЗЛ: 2) обмен массой-энергией между излучением и веществом был всегда пренебрежимо мал (за исключением первых нескольких секунд после «рождения»).
§ 27.8. ЭЙНШТЕЙНОВСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОЛЯ
Если известна зависимость от времени коэффициента расширения a (Z), из равенств (27.35) сразу можно определить эволюцию во времени плотности и давления. В свою очередь плотность и давление с помощью эйнштейновских уравнений поля позволяют установить ход расширения со временем. Таким образом уравнения поля «связаны логической петлей» и дают одну замкнутую математическую систему, из которой определяются все три величины: a (Z), р (Z) и р (Z).
Компоненты тензора Эйнштейна для модели Вселенной легко вычисляются, если использовать ортонормальные базисные 1-формы
== dz, о* = a (z) dx, ю® = a (Z) 2 d6, w* = a (Z) 2 sin 0&Ф-
(27.36)
В результате [см. уравнения (5) дополнения 14.5]
еп-3(-іг)г+§’ <27-37а>
Gu=Gu = Gn-(27.376) G^-=O, если ц (27.37в)
(Будучи предусмотрительным, можно заблаговременно заметить, что изотропия гарантирует равенство G-- = Ggg = G-^j и аналогичные равенства для тензора Римана, а потому достаточно вычислить компоненту G-- как наиболее простую для расчета.)
Базисные 1-формы Of, w*, , о* представляют собой орто-
нормальный базис, переносимый наблюдателем, движущимся
§ 27.8. Эйнштейновское уравнение поля 401
2
с «космологической жидкостью». Следовательно, Г-JJ- есть плотность массы-энергии р, которую измеряет наблюдатель, Tjj—давление р; компоненты Tq j исчезают, поскольку отсутствует поток энергии (отсутствует плотность импульса), a T^j исчезают при і Ф] из-за отсутствия сдвиговых напряжений
Tn= р, (27.38а)
= = (27-386)
Г-- = 0, когда \іфч. (27.38в)
Приравняем тензор Эйнштейна («момент вращения»), определяемый равенствами (27.37), тензору энергии-импульса, определяемому равенствами (27.38). И если читатель настаивает, включим
в уравнения поля так называемый «Л-член» или «космологический член» («самая грубая ошибка моей жизни») х). Таким образом, получим два содержательных уравнения поля. Первое представляет собой «уравнение для начальных значений», связывающее
а, і с а и р в любой начальный момент времени:
W=—k+j+?-f>- <27-39а>
опускают
Второе представляет собой «динамическое уравнение», которое дает вторую производную по времени от коэффициента расширения и тем самым определяет динамическую эволюцию после начального момента времени
2-^=-(?)2-^+А-8яр- (27'39б)
опускают
Если уравнения (27.396) и (27.39а) сравнивать с чем-то из ньютоновской механики, то первое следует сравнить с уравнением для ускорения (уравнение движения), а второе — с первым интегралом уравнения движения, т. е. с уравнением энергии. В соответствии с этим сравнением заметим, что для получения уравнения для ускорения (27.396) необходимо только продифференцировать (27.39а)и скомбинировать его с соотношением, которому удовлетворяет давление
(ря3), < = — P (“3Ь
(«закон сохранения энергии»). Поэтому впредь без какой-либо потери информации можно игнорировать «уравнение для ускорения», или «динамическое уравнение» (27.396), и работать с аналогом уравнения энергии, известным как уравнение для начальных
1J Слова Эйнштейна цитируются по книге Гамова [426].
26-01508
1) уравнение для начальных значений
2) динамическое уравнение
Почему
динамическог
уравнение
является
излишним?
2
402 27. Идеалиаоеанные космологические модели
Побочные замечания об уравнениях для начальных значений, дина* мических уравнениях и тождествах Бианки, рассматриваемых в рамках общей геометродинамики
Дифференциальное уравнение для коэффициента расширения
значений» (детали проблемы начальных значений для читателей курса 2 изложены в гл. 21).
То, что показано здесь в ограниченных рамках фридмановской космологии, рассматривается соответственно в более широких рамках. Закон сохранения энергии плюс одно уравнение поля точно воспроизводят другие уравнения поля. Обратно, исходя И8 двух уравнений поля, можно вывести закон сохранения энергии в только что сформулированном виде. Таким образом, самому написанию уравнения поля G = 8jxT (или, если настаивать на «космологическом члене»,
G + Ag = 8яТ) опускают
способствует и оно основывается на автоматическом обращении в нуль дивергенции V -G (или обращении в нуль дивергенций В и д), поскольку с самого начала известно, что энергия и импульс сохраняются, ч7 -T = 0. Неудивительна в таком случае избыточность между законом сохранения V-T=Oh уравнениями поля. Также неудивительно, что в динамике фридмановской Вселенной для получения одной и единственно интересной компоненты Gy (• уравнений поля можно использовать одну и единственно интересную компоненту закона сохранения плюс одну и единственно интересную начальную компоненту G~ ~ уравнений поля.
