Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2. При изменении х от 0 до я мы движемся наружу от «северного полюса» гиперповерхности через последовательные 2-сферы («оболочки») площадью 4яа2 sin2 х (на фигуре 2-сферы выглядят как окружности). Площадь этих оболочек вначале возрастает быстро, а затем с приближением к «экватору» гиперповерхности х =
= я/2 рост замедляется. За экватором площадь вначале уменьшается медленно, а затем быстрее по мере приближения к «южному полюсу»
(при х = л площадь равна 0).
3. Полная гиперповерхность характеризуется неравенствами
0^я, 0^^^2я
(ф — циклическая координата; ф = 0 совпадает с ф = 2я), а ее 3-объем равен
T = j (a d%) (a sin'x'dO) (а sin % sin 0 dф) =
П
= f 4na2 sin2 y\(a dx) = 2nza3. (5)
J
о
Б. Вселенная с нулевой кривизной пространства
(«пространственноплоская Вселенная»)
Метрика каждой гиперповерхности имеет вид
da* = a3 [dx* + Xа (d0* + sin2 0 гіф2)]. (6)
Это идеально плоское трехмерное евклидово пространство, описанное в сферических координатах. В декартовых координатах
х = ax sin 9 cos ф>
<7>
у = ах Sm 0 Sm ф, z = ах cos 0
метрика имеет вид
da* = dx8 + dy1 + dz2. (8)
ФИГ. I.
Трехмерная поверхность положительной кривизны, погруженная в четырехмерное евклидово пространство. Одна вращательная степень свободы подавлена благодаря тому, что положено Ф = 0 и я («сечение через полюс», 3-сфера в 4-пространстве выглядит как 2-сфера в 3-пространстве).
396 27. Идеализованные космологические модели
Полная гиперповерхность характеризуется неравенствами
О < X < оо,
О < 0 < я, (9)
О < ф < 2я,
а ее объем бесконечен.
В. Вселенная с отрицательной кривизной пространства ( «пространственнооткрытая Вселенная» )
Метрика каждой гиперповерхности имеет вид
da2 — a2 [d%2 + sh2 % (dQ2 + sin2 0 йф2)]. (10)
Эту трехмерную геометрию нельзя погрузить в четырехмерное евклидово пространство. однако ее можно погрузить в плоское пространство Минковского
da2 = —dw2 + dx2 + dy2 + dz2. (11)
Чтобы выполнить погружение, положим
w = a ch %, z = a sh х cos 0,
х = a sh х sin 0 cos ф, (12)
у = a sh х sin 9 sin ф; подставим выражения (12) для w, х, у, z в (11); в результате получим (10)
Из выражений (12) для погруженной поверхности находим
W2 — X2 — у2 — Z2 = а2, (13)
т. е. поверхность представляет собой трехмерный гиперболоид в четырехмерном
пространстве Минковского. (Он имеет такую же форму, как и массовый гиперболоид в импульсном пространстве, см. дополнение 22.5.)
Для проверки однородности и изотропии необходимо только заметить, что любую данную точку на 3-гиперболоиде и любое заданное направление, проходящее через данную точку, можно переместить в любую другую точку и направление, выполняя «преобразования Лоренца» в четырехмерном пространстве Минковского, в которое происходит погружение; при этом линейный элемент
Трехмерная поверхность отрицательной da2 = —dw2 + dx2 + dy2 1 + dz2
кривизны, погруженная в четырехмерное
пространство Минковского. Одна враща- остается неизменным.
тельная степень свободы подавлена бла- Из вышеприведенных равенств и
годаря тому, что положена Ф = О и я фиг.2. следует'
(«сечение через полюс», 3-гиперболоид в . frBVMfiT1TTbTfi 'ттовйтїхнпсти г* заданным v
4-пространстве выглядит как 2-гипербо- Двумерные поверхности с заданным %
лоид в 3-пространстве). (которые на фигуре выглядят как окруж-
Типичная точка
§ 27.6, Возможные 3-геометрии для гиперповерхности однородности 397
2
ности, так как подавлена одна вращательная степень свободы) в действительности являются 2-сферами с площадью поверхности 4 Jta2 Sh2 %, а (0, ф) представляют собой стандартные сферические координаты на этих 2-сферах.
2. При изменении х от 0 до оо мы движемся наружу от (произвольно выбранного)
«полюса» гиперповерхности через последовательные 2-сферы («оболочки»)
с постоянно возрастающей площадью Azia1 Sh2 %. Для больших % площадь поверхности увеличивается значительно быстрее, чем это было бы в случае плоской гиперповерхности:
(собственная площадь поверхности) _ Al __
Azi (собственное расстояние)2 Ane2
4я a2 shz X / е \Z ц/\
~ AncPtf ( 2 е/а) ^ °°‘ ^ ^
3. Полная гиперповерхность характеризуется неравенствами
х <
О < 0 < л, (15)
О < ф < 2я
(ф — циклическая координата; ф = О совпадает с ф = 2л), а ее объем бесконечен.
Г. Неоднозначность топологии
Предостережение'. Хотя требование однородности и изотропии с точностью до одного свободного выбираемого множителя К полностью определяет локальные геометрические свойства гиперповерхности однородности, оно оставляет неопределенной глобальную топологию гиперповерхности. Выше использовался наиболее прямолинейный выбор топологии. Однако есть и другие возможности.
Произвольность выбора топологии проще всего продемонстрировать для случая плоской гиперповерхности (к = 0). Запишем полную пространственно-временную метрику в декартовых координатах в виде
ds2 = —dt2 + а2 (t) [dx2 + dy8 + dz2]. (16)
Затем возьмем куб с координатным ребром L:
