Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЕ
не расширяется, метровая палка не расширяется, расстояние между Солнцем и Землей не увеличивается. Подвержены расширению лишь расстояния между скоплениями галактик и большие расстояния. Только при таком гигантском масштабе усреднения имеет смысл понятие однородности. Иначе обстоит дело на меньших расстояниях. Истинную ситуацию проще всего проиллюстрировать с помощью резинового воздушного шара, к поверхности которого капельками клея прикреплены монеты. По мере надувания шара (фиг. 27.2) расстояние между монетами возрастает, однако каждая монета в отдельности не увеличивается! (Математические детали см., например, в [373].)
27.3. Произвольность в выборе коэффициента расширения
Сколько произвола содержится в определении коэффициента расширения a(t)? Пусть в давние времена в момент tA зародилась цивилизация А. Для нее коэффициент расширения равен
(собственное расстояние между двумя частицами «космологической жидкости» в момент t
/собственное расстояние между теми же 'двумя частицами в момент tA
Затем в момент tB появилась цивилизация В на планете в сосед* ней галактике. [В этот момент коэффициент расширения аА имел величину аА (ів).] Для цивилизации В коэффициент расширения определяется по отношению к моменту своего возникновения:
/собственное расстояние между двумя
I частицами «космологической жидкости»
\в момент t
/собственное расстояние между теми же V двумя частицами в момент tB
В последующих двух событиях С и D (о которых знают обе цивилизации) они приписывают Вселенной в своих расчетах отнюдь не тождественные коэффициенты расширения:
®А (^с) Ф О,В (^c)i
a a (tD) фав (tD).
Покажите, что тем не менее относительное расширение модели Вселенной, эволюционирующей от стадии С к стадии D, при обоих способах расчета одинаково:
аА (tD) ( относительное ^ ад (tD)
аА (tc) —' \ расширение от С к D) ав (tc) '
¦ --- Яд (t).
aA(t).
§ 27.6. Возможные 3-геометрии для гиперповерхности однородности 391
2
§ 27.6. ВОЗМОЖНЫЕ 3-ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ОДНОРОДНОСТИ
Обратимся теперь к вопросу о 3-геометрии ytjdx da? для произвольной начальной гиперповерхности S11. Эта 3-геометрия должна быть однородной и изотропной. Критическое рассмотрение ее трехмерной римановой кривизны должно показать отсутствие «ручек», ПОЗВОЛЯЮЩИХ ОТЛИЧИТЬ одну точку на аРI от любой другой точки, или одно направление в данной точке от любого другого направления. Отсутствие «ручек» означает, что трехмерный тензор Римана должен строиться алгебраически из чистых чисел и только из существующих тензоров «без ручек»: 3-метрики у и и трехмерного тензора Леви-Чивитта eiJh. (Для всех других тензоров имеются предпочтительные направления или положения.) Одно из возможных выражений для трехмерного тензора Римана имеет вид
{S>Rt]hi = К (у,*уп — упул);
(27.21)
К = «параметр кривизны» = const.
Методом проб и ошибок можно быстро убедиться в том, что это единственное выражение, которое, с одной стороны, обладает правильной симметрией тензора кривизны, а с другой стороны, строится только из постоянных уи и EiJh. Следовательно, оно ДОЛЖНО быть 3-кривизной гиперповерхности aPj. (Говорят, что любое многообразие с тензором кривизны такого вида является многообразием «постоянной кривизны».)
Как можно ожидать, с точностью до преобразований координат метрика на гиперповерхности ^P1 полностью определяется видом получающегося из нее тензора кривизны (27.21). (Cm. упражнение
27.4.) При подходящем выборе координат метрика принимает вид (см. упражнение 27.5)
do2 — уи dx1 dx1 -----
(Ki [dx2 + sin2 x (dQ2 + sin2 0 d$2)\, если K > 0,
dx2+ X2 + sin20d^2), если tf = 0, (27.22)
( — Kyi [dx2 + sh2 x (d02 + sin2 0 d<f.2)], если /?<0.
Внесем коэффициент или (—К)-Х<г в коэффициент расшире-
ния a (t) [см. упражнение 27.3] и определим функцию
( sin х, если к = К/1КI = + 1 («положительная
кривизна пространства») ,
S = I Х> если к = K = Q («нулевая кривизна (27.23)
пространства»)
shx, если к — Kj\K'^ = —1 («отрицательная кри-
j визна пространства»).
Тензор Римана дхя однородных, изотропных гиперпо верхно-отей
Метрика
для однородных, изотропных гиперпо верхно* стей: три возможности — положительная, нулевая иди отрицательная кривизна пространства
2
392 27. Идеалиаоеанные космологические модели
Смысл
нормировки
коэффициенте
расширения
Таким образом, запишем полную геометрию пространства-времени в виде
ds2 = — dtг + аг (t) y^clx'dx3,
(27.24)
yijdxldx1 = d%2 +22 (dQ2 + sin2 Qcfy2),
а 3-кривизны однородных гиперповерхностей — в виде
= Ша2 (?)] ІУінУл — УпУ^- (27.25а)
Параметр кривизны К после такой перенормировки, очевидно, равен
К = к/а2 (г). (27.256)
Уместно ли слово «перенормировка»? Первоначально коэффициент a (t) был масштабным множителем, описывавшим увеличение линейных размеров относительно линейных размеров, взятых в некоторую произвольно выбранную эпоху, причем выбор этой отправной эпохи не имел значения. Теперь же коэффициент a (t) потерял произвольность. Он был нормирован так, чтобы его величина в данном месте и в данный момент времени определяла кривизну пространственноподобной гиперповерхности однородности в данном месте и в данный момент времени. Первоначально коэффициент a(t) считался безразмерным. Теперь он имеет размерность длины. Если кривизна положительна, то эта длина называется «радиус модели Вселенной». Иногда говорят о a(t) как о «радиусе», даже если кривизна отрицательна. Лишь в случае нулевой кривизны нормировка a (t) еще должна сохранить прежний произвол. Поэтому в случае нулевой кривизны в качестве
