Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
— 1
коэффициента выберем a (t) и а (г) = 2a (t). Тогда при X= у X
совершенно независимо для любого из двух выбранных значений можно записать собственные расстояния в трех интересующих направлениях:
і собственное расстояние \в направлении увеличения х
) =a(t)dx = a(t) d%,
/ собственное расстояние \
( г, )=a(t)vdQ = a(t)xdQ,
\ в направлении увеличения 0 /
/собственное расстояние \ ,.. . nj, . aj,
( r , I =s ihsm0# = fl (t) Ysin0do.
\ в направлении увеличения f /
Такая свобода выбора отсутствует в случае искривленной модели Вселенной, поскольку х тогда в последних двух выражениях заменяется на функции sinx или shx, которые нелинейны по своему аргументу.
Несмотря на то что в принципе возможно определить абсолютную величину «радиуса» a (t) искривленной Вселенной, современная точность наблюдений не позволяет осуществить это на
27.6. Возможные 3-геометрии для гиперповерхности однородности 393
2
практике. Поэтому уместно продолжать рассматривать a (t) как коэффициент относительного расширения, абсолютную величину которого определить трудно, а потому она не должна входить точно ни в одно из уравнений. Это оправдывает способ дальнейшего анализа расширения, при котором в расчетах фигурируют не абсолютные значения а, а отношения значений а.
В дополнении 27.2 исследуется и разъясняется геометрия гиперповерхности однородности.
27.4. Однозначность метрики для 3-поверхности постоянной кривизны
Пусть Уи и ус]'— два набора метрических коэффициентов в системах координат {х1} и {?*'}, которые имеют римановы тензоры кривизны типа (27.21) [полученные из выражений (8.22) и (8.42)). Пусть в дополнение к этому известно, что параметры кривизны К и K1 равны. Покажите, что уц и у у у связаны координатным преобразованием. (Решение см. в § 8.10 книги Робертсона и Нунана [24] или в § 10 и 27 книги Эйзенхарта 111].)
27.5. Метрика для 3-поверхности постоянной кривизны
а. Покажите, что к выражению (27.21) для тензора кривизны приводит следующая метрика:
(1+ 4 Явы***1)"8ву. (27.26) *)
б. Переходя к сферическим координатам R, 6, ф, а затем к шварцшильдовской радиальной координате (2яг — «собственная длина окружности»), преобразуйте метрику (27.26) к виду
= gnSbr + г2 (d02 + sin2 6 #2)- (27.27)
в. Найдите дальнейшее изменение радиальной координаты, которое приведет метрику к форме (27.22).
27.6. Свойства 3-поверхностей
Проверьте все утверждения, сделанные в дополнении 27.2.
х) При такой выборе пространственных координат метрика простраяст-ва-времени имеет форму
*2----dt2+ (**m+dfi+d*)
[1+х(*2 + *2+*2)]
Ее часто называют «линейным елементом Робертсона — Уокера», так как Робертсон (374, 375] и Уокер [376] первые доказали, что она описывает наиболее общую однородную и изотропную геометрию пространства-времени.
УПРАЖНЕНИЯ
394 27. Идеалиаованные космологические модели
упражнения 27.7. Изотропия означает однородность
Воспользовавшись свернутым тождеством Бианки (S)G|? = 0 (где черточкой указана ковариантная производная, вычисляемая в 3-геометрии), покажите, что I) = 0 для К из равенства
(27.21), а затем покажите, что 2) независимость кривизны от направления [изотропия; кривизна имеет вид (27.21)] означает и требует однородность (К постоянно в пространстве).
Дополнение 27.2. 3-ГЕОМЕТРИЯ ГИПЕРПОВЕРХНОСТЕЙ ОДНОРОДНОСТИ
А. Вселенная с положительной кривизной пространства («пространственнозанкнутая Вселенная»)
Метрика каждой гиперповерхности имеет вид
da2 = аг ld%2 + sin* % (d02 + sin2 0 difr2)]. (I)
Чтобы представить себе эту 3-геометрию, вообразите, что она погружена в четырех-
мерное евклидово пространство (такое погружение возможно здесь и невозможно для трехмерного многообразия общего вида; чтобы воссоздать 6 заданных функций [grnn (“* P1 Y)] трех переменных [а, р, Yb У нас имеется только четыре свободные функции [ц>, х, у, z] этих трех переменных).
Погружение достигается, если
w = a cos х, z == a sin х 003 в»
х = a sin х sin 0 cos ф, (2)
у — a sin х sin 0 sin ф;
отсюда следует, что
da2 - dw2 + dx2 + dy1 + dz2 =
= a2 [dx* + sin2 x (d02 + sin2 0 dф2)]. (3)
Из выражений (2) для погруженной поверхности получаем
Wi + X2 + уг + Z2 = а2, (4)
т. е. поверхность представляет собой трехмерную сферу в четырехмерном евклидовом пространстве.
Для проверки однородности и изотропии необходимо только заметить, ЧТО любую данную точку [любые данные (w, х, у, z) на 3-сфере] и любое заданное направление, проходящее через данную точку, можно переместить в любую другую точку и направление, выполняя вращение в четырехмерном пространстве, в которое происходит погружение, при этом линейный элемент
da2 = dw2 + dx2 + dy2 + dz2
остается неизменным.
§ 27.6. Воаможные 3-геометрии для гиперповерхности однородности 395
2
Из вышеприведенных равенств в фиг. 1 следует:
1. Двумерные поверхности с заданным % (которые на фигуре выглядят как окружности, так как подавлена одна вращательная степень свободы) в действительности являются 2-сферами с площадью поверхности 4яа* sin2-/, a (6, <j>) представляют собой стандартные сферические координаты на этих 2-сферах.
