Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
27.2. Синхронная система координат в общем случае упражнение
В произвольном пространственно-временном многообразии (не обязательно однородном или изотропном) выберите начальную пространственноподобную гиперповерхность (Sp1, поместите на ней произвольную координатную сетку, выпустите ортогонально ей геодезические мировые линии и припишите этим мировым линиям координаты
(г1, г3, a?) = const, 'i" sit 3?+ т,
25*
2
388 27, И деалиаованкые космологические модели
УПРАЖНЕНИЕ
Доказательство того, что с точностью до общего «масштабного множителя, учитывающего расширение» , вое однородные гиперповерхности во Вселенной имеют одинаковую 3-геометрию
где т — собственное время вдоль мировой линии, начинающееся с т = 0 на of j. Покажите, что в этой системе координат метрик» принимает синхронный (гауссово нормальный) вид (27.14).
§ 27.5. КОЭФФИЦИЕНТ РАСШИРЕНИЯ
Чтобы определить 3-геометрию, т. е. dor2 = gu (t, г*) AxiCh?, на каждой гиперповерхности однородности, разобьем задачу на две части: 1) природа 3-геометрии на произвольной начальной гиперповерхности (рассматривается в следующем параграфе) и 2) эволюция 3-геометрии со временем, т. е. последовательный переход от начальной гиперповерхности к следующей гиперповерхноси и т. д. (рассматривается в этом параграфе).
Предположим, что нам известна начальная 3-геометрия, т. в. на начальной гиперповерхности S11 — в произвольной, но точно выбранной системе координат — известны коэффициенты пространственной части метрики:
YU (з*) =Su (*/> ^)- (27.16)
Какой вид будут иметь коэффициенты пространственной честя метрики gih (t, а*) на другой гиперповерхности однородности? На этот вопрос легко ответить с помощью следующего аргумента. Рассмотрим в космологической жидкости две соседние мировые линии Jt и SS с координатами (х1, х2, х?) и (х1 + Ax1, з? + + А г2, г3 + Аг3). В момент tr (на поверхности ^1) они разделит собственным расстоянием
Acr(Jj) = (YuAziAx3)1/2. (27.17)
В более поздний момент t (на поверхности of) они будут находиться друг от друга на некотором другом собственном расстоянии Aa (t). Изотропия пространства-времени гарантирует, что отношение расстояний Aa(t)/Aa (I1) не будет зависеть от направления от Jb к SS (сдвиговые движения жидкости отсутствуют). Для любого заданного направления аддитивность малых расстояний гарантирует, что Асг(г)/Acr (tx) не будет зависеть от Acr (tj). Таким образом, отношение Acr (i)/Aa (I1) должно быть одинаковым для всех пар мировых линий вблизи данной мировой линии. Наконец, однородность гарантирует, что это скалярное отношение не будет зависеть от положения на начальной поверхности S11, т. е. от ж1, Xі, х:3. Обозначим это пространственно постоянное отношение через a(t):
a{t) s Aor (t)/Ao(tj). (27.18)
Таким образом, коэффициент a(t) показывает, во сколько раз изменилось расстояние между мировыми линиями за промежуток времени от I1 до t. Другими словами, a(t) — это универсальный «коэффициент расширения» или «масштабный множитель»,
§127.5. Коэффициент расширения 389
ФИГ. 27.2.
Модель Вселенной в виде раздувающегося шара, покрытого монетами. Каждая монета А может с полным правом считать себя центром расширения, поскольку расстояние от А до любой соседней монеты В или С увеличивается тем сильнее, чем более удаленной была эта монет авначале («хаббловское соотношение»). Сами монеты не расширяются (расстояние между Солнцем и Землей постоянно, не расширяется метровая палка не возрастают атомные размеры). Современное расстояние между галактиками (—10е св. лет) равно примерно десяти типичным размерам галактик (— IO6 св. лет).
Комбинируя равенства (27.17) и (27.18), для интервала между соседними мировыми линиями в момент Z получаем
Aor(Z) = a(t) [уц (г*) Az1Axi]1^.
Это соответствует пространственной метрике
daг = a2(t) у а (а^) dxidxi (27.19)
в момент t и пространственно-временной метрике
ds2 = — dt2 + аъ (Z) уtj (г*) dx^dkt?. (27.20)
Заметим, что коэффициенты у1} (г*) описывают форму не только начальной гиперповерхности, но также и всех других гиперповерхностей однородности. При переходе от одной гиперповерх-
ности к следующей в геометрии изменяется только масштаб расстояний. Все расстояния между точками пространственной сетки (мировыми линиями жидкости) растягиваются в одинаковое число раз a (Z), оставляя неизменной форму гиперповерхности. Это есть следствие однородности и изотропии и выполняется точно, если только модель Вселенной однородна и изотропна.
Студента, впервые сталкивающегося с идеей о «расширяющейся Вселенной», больше всего беспокоит абсурдность этой идеи. Расширяется Вселенная, увеличиваются расстояния между скопле- ^т°
у*» ^ И ЧТО HC рвСШД"
ниями галактик, между Солнцем и Землей, растет длина метровой ряется во все-
палки, расширяется атом? В каком смысле можно говорить тогда ленной
о расширении вообще? Относительно чего расширение? Расширение относительно абсурда! Только позже он понимает, что атом
2
390 27. Идеалиаоеанные космологические модели
