Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3. Пространственная сетка на некоторой начальной гиперповерхности полностью произвольна.
4. Если Yi] dxi dxi — метрика на начальной гиперповерхности как функция произвольных координат (у и функция г1, г2, г3), тогда метрика пространства-времени в сопутствующей, синхронной системе координат имеет вид
гії* = — dt2 + аа (t) уи dxl dxi.
Таким образом вся динамика геометрии Вселенной заключена в одной функции времени — масштабном множителе a (t), а форма (но не размер) гиперповерхностей однородности характеризуется пространственнрй 3-метрикой у if dxi dxi.
Жидкий элемент
<х\ X21 Xя)
- (», 2, 136)
Построение «сопутствующей, синхронной» системы координат для Вселенной
25—01S08
386 27. Идеалиаованные космологические модели
(х1, Xі, г3) и «распространим» эти координаты за пределы и пО всему пространству-времени при помощи мировых линий космо> логической жидкости. В частности, припишем каждому событию на данной мировой линии, где происходит пересечение S11, пространственные координаты (х1, хг, х3). Это приписывание имеет простой смысл. Жидкость всегда покоится относительно пространственных координат. Другими словами, пространственные координаты являются «сопутствующими»; они просто отмечают мировые линии жидкости. В качестве временной координаты t данного события SPj используем сумму промежутка собственного
времени і dr события SP на S1, измеренного вдоль мировой линии
жидкости, которая проходит через событие SFt, и времени Z7 («стандарта времени» на начальной гиперповерхности S1)', таким образом имеем
Поверхности t = const такой системы координат будут совпадать с гиперповерхностями однородности Вселенной. Это можно видеть, сосредоточив внимание на наблюдениях, выполняемых двумя различными наблюдателями А и В, движущимися с жидкостью вдоль различных мировых линий. В момент координатного времени tj (на CSp1) для В и А Вселенная выглядит одинаково. Пусть через некоторый интервал времени At, протекший по их часам, А ж В вновь выполняют наблюдения. Однородность начальной гиперповерхности S1 и детерминистическая природа эйнштейновских уравнений поля гарантируют, что А и В вновь обнаружат тождественную физику. (Тождественные начальные условия на S1 и тождественные промежутки собственного времени, в течение которых уравнения Эйнштейна определяют эволюцию Вселенной вблизи А и В, гарантируют тождественные конечные условия.) Поэтому через промежуток времени At А и В вновь располагаются на одной и той же гиперповерхности однородности, хотя и отличной от S1, где они начали наблюдения. В силу определения координатного времени (27.12) временная координата на пересечении мировой линии наблюдателя В с новой гиперповерхностью равна t = tj + At, и аналогично для А. Кроме того, наблюдатели А и В были произвольными. Следовательно, новая гиперповерхность однородности, как и ^f1, есть гиперповерхность постоянного координатного времени, что и требовалось доказать.
Поскольку гиперповерхности однородности задаются условием t = const, то базисные векторы д/дх1 в любом данном событии SP касательны к гиперповерхности однородности, которая проходит через это событие. Временной же базисный вектор d/dt касателен к мировой линии жидкости, проходящей через SP, так как вдоль этой мировой линии Xі = const. Следовательно, ортогональность
вдоль мировой ЛИНИИ ЖИДКОСТИ
(27.12)
Si
§ 27.4. Сопутствующие системы координат для Вселенной 387
мировой линии к гиперповерхности гарантирует ортогональность вектора d/dt к вектору д/дх':
(dldt)'(d/dxl) = 0 для г = 1, 2, 3.
(27.13а)
Временная координата имеет другое специальное свойство: она измеряет промежуток собственного времени вдоль мировых линий жидкости. В силу этого и поскольку вектор d/dt касателен к мировым линиям, можно записать
d/dt = (d/dТ)ВД0ЛЬ нировых линий ЖИДКОСТИ — и»
где и — 4-скорость «космологической ЖИДКОСТИ», всегда имеет единичную длину:.
(d/dt) -(d/dt) = —I.
(27.136)
4-скорость
(27.13b)
(dsz)Ha гиперповерхности ; однородности
= da2 = IgiAi^cotlai dx1 dx>. (27.15)
2
Условия (27.13а) и (27.13в) показывают, что в сопутствующей системе координат [где ga р ^ (д/дха) • (д/дх^)] линейный элемент для пространства-времени принимает вид
ds2 = —dt* + giidxidx‘. (27.14)
Любая система координат, в которой линейный элемент имеет этот вид, должна называться «синхронной», поскольку 1) координатное время t в ней измеряет собственное время вдоль линий постоянного я1 (т. е. gtt = — 1) и 2) поверхности t = const являются (локально) поверхностями одновременности для наблюдателей, которые движутся с Xі = const [т. е. ga = (d/dt) X X (д/дх’) = 0]; она называется также «гауссовой нормальной системой координат» (ср. с фиг. 21.6).
Гиперповерхность однородности t = const имеет пространственную трехмерную геометрию, описываемую уравнением (27.14) с di = 0:
Вид хввейвого элемента в сопутствующей системе координат
Знать все о 3-геометрии на каждой из этих гиперповерхностей значит знать все о геометрии пространства-времени.
