Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
1) Авторы глубоко признательны Карлтону М. Кейвсу, нашедшему и исправившему много ошибок в этой и других главах.
2
360 26. Звездные пульсации
Что необходимо для анализа звездных пульса цп й?
Равновесная
конфигурация
гвеады
«экстремальной энергии», см. в приложении к книге Гаррисона, Торна, Вакано и Уилера [287], а о расчете, основанном на понятии экстремальной энтропии, см. в [342].
§ 26.2. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
Рассматриваемая система представляет собой сферу идеальной жидкости, пульсирующую радиально с очень малой амплитудой. Для анализа пульсаций необходимы: а) точные уравнения, описывающие равновесную конфигурацию, относительно которой пульсирует сфера, б) система координат для колеблющейся сферы, сводящаяся при нулевой амплитуде пульсаций к стандартной системе шварцшильдовских координат для равновесной сферы, в) набор малых функций, которые описывают пульсации (радиальное смещение и скорость, возмущения давления и плотности, изменения первого порядка в метрических коэффициентах) и по которым происходит линеаризация, г) набор уравнений, определяющих эволюцию этих «функций возмущения».
а. Равновесная конфигурация
Уравнения внутреннего строения для равновесной сферы приведены в § 23.7. Полезно переписать их здесь с некоторыми изменениями обозначений (используя индекс «о» для обозначения
«невозмущенной конфигурации», величину A = —2 ^ — 2т/г)
вместо т во всех уравнениях и штрих для обозначения производных по г):
ds2 = — е2ф° dt2 -J- е2А° drz -J- г2 (dQ2 -J- sin2 0 d<f2), (26.1а)
л; = -1-(1_е2ло) + 4ягроЄ2Л°, (26.16)
Po = — (Po + Po) Ф'о, (26.1в)
Ф'= — J-(l — е2Л°)-)-4 пгр0е2Л°. (26.Ir)
б. Координаты для возмущенной конфигурации
Газовая сфера пульсирует радиально, т. е. сферически симметричным образом. Следовательно, ее пространственно-временная геометрия должна быть сферической. В дополнении 23.3 показано, что для любого динамического или статического сферического пространства-времени можно ввести шварцшильдовские координаты с линейным элементом
Координаты для возмущенной конфигурации
ds2= —е2ф dt2-J- е2Аdr2г2 (dQ2+- sinz0d^z), (26.2)
Ф = Ф (*,»•), A = A (t,r).
§ 26.2. Постановка проблемы 361
2
Эти координаты используются для пульсирующей сферы, поскольку они сводятся к невозмущенным координатам, если пульсации имеют нулевую амплитуду.
в. Функции возмущения
Когда пульсации имеют очень малую амплитуду, метрические коэффициенты Ф, A и термодинамические переменные р, р и п, измеренные в системе отсчета, покоящейся относительно жидкости, очень мало отличаются от своих невозмущенных значений. Пусть 6Ф, 6Л, 6р, бр и бп — возмущения, налагаемые на невозмущенную конфигурацию:
Ф (t, г) = Ф0 (г) + 6Ф (t, г), Л (t, г) = A0 (г) + 6Л (t, г), p{t, г)=--p., (г)+Sp (t, г), p(t, г) = Po (г) +Sp (t, г), (26.3а)
n(t, г) = п0 (г) -f-6n(?, г).
Кроме 6Ф, 6Л, бр, 6р и бп, для описания пульсации необходима еще одна функция возмущения — радиальное смещение ? жидкости от своего равновесного положения:
Жидкий элемент, локализованный на координатном радиусе г в невозмущенной конфигурации, смещается к координатному радиусу г + ? (г, t) (26.36)
за координатное время t в колеблющейся конфигурации.
Чтобы облегчить анализ пульсаций, все уравнения следует линеаризовать по функциям возмущения 6Ф, 6Л, бр, бр и бп.
г. Уравнения эволюции
Эволюция функций возмущения со временем определяется эйнштейновскими уравнениями поля, локальным законом сохранения энергии-импульса V-T = 0 и законами термодинамики, линеаризованными соответствующим образом. Дальнейший анализ сводится лишь к приведению этих уравнений к «послушному виду». Конечно, эта процедура проводится наиболее эффективно, если наперед известен искомый вид уравнений. Цель этого расчета и большинства аналогичных расчетов проста — получить 1) набор динамических уравнений для истинных динамических степеней свободы (лишь смещение жидкости I в данном случае; смещение жидкости и амплитуды гравитационных волн в несферическом случае, где возможны волны); 2) набор уравнений на начальные значения, выражающих оставшиеся функции возмущения (6Ф, 6Л, Ьр, бр и бге в данном случае) через динамические степени свободы (|).
Функции
возмущения
Как вывести
уравнения,
определяющие
функции
возмущения
2
362 26. Звевдные пульсации
Определен не
эйлеровых
возмущений
Определение лагранже вых возмущений
Связь между эйлеровыми и дагранжевыми возмущениями
Вывод уравнений для начальных значений:
1) для возмущений барионного числа An и 6п
§ 26.3. СРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРОВЫХ И ЛАГРАНЖЕВЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Прежде чем выводить динамические уравнения и уравнения для начальных значений, полезно ввести новое понятие: «лагранжево возмущение» термодинамической переменной. Возмущения 6р, бр и бге в равенствах (26.3) — это эйлеровы возмущения р, р и л, т. е. изменения, измеренные наблюдателем, постоянно находящимся в фиксированной точке (t, г, 0, ф) координатной сетки.
В противоположность этому лагранжевы возмущения, обозначаемые Ар, Ap и Ага,— это изменения, измеренные наблюдателен, движущимся с жидкостью, т. е. наблюдателем, который находится на радиусе г в невозмущенной конфигурации, а в возмущенной конфигурации находится на радиусе г ? (t, г):
