Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
а. Для Ь 3]/3M орбита представляет собой почти прямую линию со слабым отклонением на угол AMIb (упражнение 25.21; § 40.3).
б. Для 0 < Ъ — SVЗ.М М, прежде чем улететь назад к г = оо, частица совершает много оборотов вокруг звезды на r« ZM («неустойчивая круговая орбита»).
2. Частица с нулевой массой покоя с Ъ < ZVZM, прилетающая из бесконечности, падает кг = 2M (периастр отсутствует).
3. Частица с нулевой массой покоя, испущенная вблизи г = 2М, уходит на бесконечность, если только она имеет прицельный параметр b < ZV ZM; в противном случае она достигает апоастра и затем затягивается назад к г = 2 М.
В. Уход на бесконечность (в противоположность захвату) как функция направления распространения
Наблюдатель, покоящийся в шварцшильдовском гравитационном поле, измеряет обычную скорость частицы с нулевой массой покоя относительно своей ортонормальной системы отсчета [равенства (23.15))
,feel 1 (*;)2 + 0>$)2 = 1;
\іфф I'Ьлф/м. U0014*dt/dk
¦Ъ/В\
*) Получены из зависимости эффективного потенциала от г.
2
350 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
arccos v~
arcsm у -.
g _ / угол между направлением распространения
\и радиальным направлением / —
Чтобы преодолеть потенциальный барьер, частица должна иметь прицельный параметр Ъ < 3У ЪМ или v2~B2 < 27M2, или Sin2k 6 < 27M2IB2. Переформулируем этот результат:
1. Частица с нулевой массой покоя, находящаяся на г < ЪМ, уйдет\ в] конечном счете на бесконечность, а не захватится черной дырой наг = 2 M тогда и только тогда, когда Vr — положительная величина и
sin б < 3/3MB-1 (г).
2. Частица с нулевой массой покоя, находящаяся на г > ЗМ, уйдет в конечном счете на бесконечность тогда и только тогда, когда I) Vr—положительная величина или 2) Vr — отрицательная величина, а
sin 6 >ЗУЗМВ~1 (г).
• і = 1 d/d<f>
I ‘ '
Li________________________________и
L
в; = (1 - 2М/г)иг д/дг
- г/М -
0 2 4 6 8 10
Светлая часть круга — освобождение; черная часть — черная дыра; направления в собственной системе отсчета.
Статические
ферические
звездные
скопления:
§ 25.7. СФЕРИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДНЫЕ СКОПЛЕНИЯ
Объединяя развитую в этой главе теорию орбит с развитой в § 22.6 кинетической теорией в искривленном пространстве-времени, можно сформулировать теорию релятивистских звездных скоплений.
Рассмотрим для простоты сферически симметричное скопление звезд (например, шаровое скопление, но настолько плотное, чтобы были существенны релятивистские гравитационные эффекты). Потребуем, чтобы скопление было статическим, т. е. плотность числа звезд в фазовом пространстве,#'не зависела от времени. (Новые звезды, движущиеся по геодезическим орбитам, входят в заданную область фазового пространства с той же скоростью, с которой из нее выходят «старые» звезды.) Столкновениями и близкими сближениями звезд пренебрегаем, т. е. рассматриваем каждую звездную орбиту как геодезическую в сферически симметричном пространстве-времени скопления как целого.
С принятыми идеализациями можно выписать необходимый набор уравнений, описывающих структуру скопления г). Поскольку
1J Эти уравнения были впервые выведены и исследованы Зельдовичем и Подурцом [282].
§ 25.7. Сферические звездные скопления 351
скопление статическое и сферическое, то таким же должно быть и его гравитационное поле. Следовательно, можно ввести систему координат того же типа («шварцшильдовские координаты»), которая была использована в гл. 23 для статической сферической звезды
ds* = -е2ФЙг + e2Va + r*dQa; Ф = Ф(г); A = A (г). (25.73)
В касательном пространстве в каждом событии пространства-времени имеются векторы импульсов движущихся звезд. Для координат в этом касательном пространстве («импульсное пространство») удобно использовать физические компоненты 4-импульса Pa, т. е. компоненты в ортонормальном базисе
ю^=ефіі*, cor=eAdr, со^ = г d0, м* = г sin0 йф. (25.74)
Тогда плотность звезд в фазовом пространстве есть сферически-симметричная статическая функция
jT = jT[r,p~°, р?, (р8а + Р*г)Уг]. (25.75)
\Ж не зависит от t, поскольку скопление статично, и не зависит от
0, ф и угла 0 = arctg (рф/рЪ) в силу сферической симметрии.] Функции Ф, A THjjf', описывающие структуру скопления, определяются кинетическим уравнением (§ 22.6) (называемым также уравнением Власова)
djV’/dk = Q, т. е. JT сохраняется вдоль орбиты каждой
звезды в фазовом пространстве, (25.7Ra)
и эйнштейновскими уравнениями поля
G“® =8яГ“ё = 8л J {„Гр«рЪ) n-'dpVdpT dp* dp*. (25.766)
(Уравнение Власова для ньютоновских звездных скоплений рассмотрено Огородниковым [335]. Вышеприведенное выражение для тензора энергии-импульса множества частиц (звезд) было выведено в упражнении 22.18. Здесь, как и в упражнении 22.18, не предполагается, что все частицы (звезды) имеют одинаковую массу покоя. Отметим, что масса покоя в этой главе обозначена а в гл. 22 она обозначалась т.)
Чтобы решить уравнение Власова, необходимо только заметить, что Jzi сохраняется вдоль звездных орбит и поэтому должна быть функцией интегралов орбитального движения. В статическом сферическом пространстве-времени скопления имеется интеграл движения, соответствующий каждому вектору Киллинга (см. упражнение 25.8):
