Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Иногда оказывается полезным построить зависимоть от г не «эффективного потенциала» (25.58), а «потенциального прицельного параметра В(г)», вычисленного из формулы (25.58) (см., например, [196, 332]). Этот потенциальный прицельный параметр имеет следующую интерпретацию. Чтобы луч достиг точки г, он должен иметь прицельный параметр Ь, равный или меньший
(25.53)
(25.54)
1) определение
прппелыюго
параметра
2) форма орбпты
3) эффективный потенциал
2
344 ?5’ Ч.Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
4) критический
прицельный
параметр
5) аффинный параметр
в) уравнения орбиты
В (г):
b В (г) («условие достижимости»). (25.59)
Луч с нулевым прицельным параметром (лобовое столкновение) или с любым прицельным параметром, меньшим Ькрит = = min Ш(г)] = ZV ЪМ, может достичь любого значения г.
Замечательно простой «эффективный потенциал» (25.58) используется в уравнении (25.56) для определения формы орбиты, т. е. того азимута ф, который имеет фотон, достигнувший данного значения г. В другой связи в равной степени интересно знать, когда, или при каком значении шварцшильдовского координатного времени, фотон достигнет данного значения г. Более широко, геодезическая фотона, для которой собственжю время не имеет смысла, позволяет (в противоположность методу первоначального рассмотрения частицы с конечной массой покоя и последующего перехода к пределу [х —>¦ 0) провести анализ из первых принципов с помощью аффинного параметра
Вернемся к формулировке законов сохранения (25.17) и (25.18), в которой используется аффинный параметр к, а не масса покоя ц; так,
?=? <25-в0>
И
1 = 1(25-61>
Напомним, что поведение фотона в гравитационном поле определяется его направлением, а не его энергией. Поэтому не рассматривают E и L отдельно, а рассматривают лишь их отношение, т. е. прицельный параметр Ъ = LIE [см. (25.54) и упражнение 25.14]. Это обстоятельство позволяет заменить аффинный параметр X новым аффинным параметром
^ob = LI, (25.62)
который также постоянен вдоль мировой линии фотона. Используя такое обозначение (индекс «нов» далее опускаем), перепишем законы сохранения в виде
d<p _ 1
dt 1
Ь(1 — 2М/г)"
(25.63)
(25.64)
Утверждение, что мировая линия фотона есть линия нулевого промежутка собственного времени
dxa dx& п /пс-
(25-65>
§ 25.6. Орбита фотона, нейтрино или гравитона 345
2
ФИГ. 25.6.
Орбиты фотона в «экваториальной плоскости» черной дыры, изображенные в шварцшильдовских координатах гиф, для избранных значений точки поворота орбиты гг.п/М = 2,99; 3,00 (неустойчивая круговая орбита); 3,01; 3,5; 4,5; 6; 7; 8; 9. Прицельный параметр дается формулой b=rT.„ (1—2Jlf/rT.n). Ни в одном нз показанных случаев, даже для обрывающейся внутрь спирали, прицельный параметр не становится меньше Akprt = (27)1/2 M и никакая из этих орбит не может пересечь окружность г = ЪМ. Это происходит только для орбит с параметром Ь, меньшим Ькрит. Для таких орбит точка поворота отсутствует, фотон приходит из бесконечности и попадает в г = 0, причем для 6 = 0 (лобовое столкновение) непосредственно, а для ЫМ = (27)1/2 — е, где є — очень малая величина,— лишь после многих витков вблизи г = = ЪМ. Мы признательны проф. Дике, позволившему опубликовать эти кривые; он рассчитал их на вычислительной машине и непосредственно изобразил согласно формуле (РиЫф2 = Zu2 — и, где и = Mlr.
ведет к «радиальному уравнению»
(ж)2 + В~Чг) = Ь-\ (25.66)
Здесь мы вновь сталкиваемся с «эффективным потенциалом» В~г(г), определяемым формулой (25.58). Весь этот полный набор уравнений для геодезической фотона имеет то преимущество, что позволяет перейти от пространственного описания к описанию мировой линии в пространстве-времени.
Вернемся к пространству! На фиг. 25.6 показаны типичные орбиты фотона в шварцшильдовской геометрии. На фиг. 25.7 показана кривая зависимости угла отклонения от прицельного параметра. Из информации, содержащейся в этой кривой, можно оценить вклады в дифференциальное эффективное сечение рассеяния
Ш= 2 I 2JTnt** I 67>
«ветви»
от различных «ветвей» кривой расстояния (один оборот вокруг центра притяжения, два оборота и т. д.; дополнительно об этих
7) эффективное
сечение
рассеяния
346 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
ФИГ. 25.7.
Отклонение фотона шварцшильдовской черной дырой или любым другим сферически симметричным центром притяжения, достаточно малым, чтобы не преграждать траекторию фотона. Точные расчеты (сплошные кривые) можно сравнить с формулами (пунктирные кривые), справедливыми асимптотически в двух предельных случаях, когда нрицельныи параметр Ь 1) очень близок к ЬКрит = оУ2М (много оборотов вокруг центра притяжения) и 2) велик по сравнению с 6крит (малое отклонение). Дадим алгоритм точного расчета отклонения (причем все расстояния приводятся для простоты в единицах массы MY
1. Выбираем значение г = R для шварцшильдовской координаты точки ближайшего подхода.
2. Вычисляем прицельный параметр Ь из формулы Ьг = R3I(R — 2).
