Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
аг = ф0'+бФ' + е2(Ло-фо>ї.
(Компонента а» тривиальна в том смысле, что она ведет к уравнению Эйлера, дублирующему (26.1в).] Комбинируя это выражение для аТ с р + р = Po + Po + бр + бр, с радиальной компонентой Pn + бр' для проекции Vp и с уравнением гидростатического равновесия (26.1в) в нулевом приближении, получаем уравнение Эйлера
(26.18)
(Po + Po) е2<Ло-фо>|'= _ бр' _ (бр + бР) Фо' - (Po + Po) 6Ф'.
Уравнение движения (26.18) приводится к наиболее удобному виду, если сначала использовать уравнения (26 9), (26.11) и <26.16) на начальные значения, выражающие бр, бр и 6Ф' через а затем после перестановки членов — уравнения внутреннего строения (26.1) в нулевом порядке. В результате найдем
Wi = (PO'+Ql, (26.19)
где ? — «перенормированная функция смещения», a W, Р, Q — функции радиуса, определяемые внутренним строением равновесной звезды:
S = гЧ~фо%,
W == (Po + Po) Г-*еЗЛо+%
P = T1Por2A+3^,
<?;== еЛо+3фо С г‘2—4р0'г-3 - 8я (Po + Po) РоГ‘2е2Л'
(26.20) (26.21а) (26.216) >]. (26.21в)
Вывод уравнения движевня .для смещения ЖИДКОСТИ I
2
366 2S.. Звездные пульсации
Граничные условия, налагаемые на смещение жидкости
Уравнение (26.19) представляет, собой динамическое уравнение, описывающее звездные пульсации. [Это уравнение можно переписать в других формах; например, его можно умножить на W~l или на любой другой отличный от нуля множитель и перегруппировать члены. Форма (26.19) предпочтительна, поскольку она приводит к самосопряженной задаче на собственные значения для частот колебаний, как это указано в дополнении 26.1.]
He все решения динамического уравнения приемлемы. Чтобы быть физически приемлемой, функция смещения должна вызывать конечные возмущения плотности и давления (бр и 6р) в центре сферы; это означает, что
\1г конечно или равно нулю в пределе при г -V О
(26.22а)
[см. (26.9) и (26.11)]; функция смещения должна также оставлять равным нулю давление на поверхности звезды; это означает, что
Ар= —Гір0г 2ефо (г2е-фо|)'->- 0 при г-+R (26.226)
t
радиус поверхности
[см. (26.7), (26.8) и (26.15)].
Дополнение 26.1. ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП ДЛЯ НОРМАЛЬНЫХ МОД ПУЛЬСАЦИЙ ЗВЕЗДЫ
Предположим, что перенормированная функция смещения (26.20) имеет синусоидальную зависимость от времени
? = ?(r) e~iB>t.
Тогда динамическое уравнение (26.19) и граничные условия (26.22) сводятся к задаче на собственные значения для угловой частоты <в и амплитуды ? (г):
ТО' jTQijT CflWS = о, (1)
S/r8 конечно или равно нулю при г-+0, (2а)
Г1Рог-*ефо? ^.0 при r-*-R. (26)
Методы решения этой задачи на собственные значения перечислены и обсуждены
Бардином, Торном и Мельтцером [343]. Одним из методов (нелучшим, однако, для численных расчетов) служит вариационный принцип
S (Pfz-Qt?) dr
о
R
J Wtfdr
(3)
§ 26.5, Динамическое уравнение и граничные условия 367
где t изменяется так, что удовлетворяет граничным условиям (2). (Обсуждение эквивалентности между этим вариационным принципом и первоначальной задачей на собственные значения см., например, в § 12.3 книги Мэтьюса и Уолкера [344].)
Абсолютный минимум выражения (3) дает кгадрат частоты основной моды пульсаций. Если он отрицателен, то звезда неустойчива (е~ш экспоненциально растет со временем). Если он положителен, то звезда устойчива относительно адиабатических радиальных возмущений. Следовательно, поскольку знаменатель выражения (3) положительно определенный,
“устойчивость относительно адиабатических радиальных возмущений
Путем численного решения уравнения (1) на собственные значения были определены частоты пульсаций для широкого класса моделей нейтронных и сверхмас-сивных звезд. Пример: На приведенной здесь фигуре нанесена частота пульсаций
S
8.
CQ
і
как функция плотности в центре для наинизших четырех нормальных мод моделей Гаррисона — Вакано — Уилера в конечной точке звездной эволюции. (Проведите детальное сравнение с фиг- 24.2.) Эти кривые основаны на расчетах Мельтцера и Торна [345] с учетом [262] поправок для основной моды массивных белых карликов.
2
368 26. Звездные пульсации
Резюме теории
звездных
пульсаций
УПРАЖНЕНИЕ
§ 26.6. КРАТКАЯ СВОДКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Если на начальное смещение жидкости | (t — 0, г) наложить граничные условия (26.22), тогда последующую эволюцию смещения
I (t, г) можно вычислить, интегрируя динамическое уравнение
(26.19), а зная | (t, г), можно найти выражения для давления, плотности и возмущений метрики из уравнений (26.9), (26.11), (26.15) и (26.16) на начальные значения.
Некоторые важные следствия этих результатов рассмотрены в дополнениях 26.1 и 26.2.
26.1. Увлечение инерциальных систем отсчета медленно вращающейся звездой
Жидкая сфера очень медленно вращается. Проанализируйте вращение сферы, используя теорию возмущений и принимая во внимание только эффекты и члены, линейные по углово йскорости вращения. [Указания:
1. Центробежные силы имеют второй порядок по угловой скорости. Следовательно, в первом порядке звезда не деформируется, распределения ее плотности и давления остаются сферическими и невозмущенными.
