Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3. Вычисляем Q из формулы Qi = (R — 2) (R + 6).
4. Определяем модуль «эллиптического интеграла первого рода» к из фор-
мулы sina 0 = Л2 S= (Q — R+6)/2Q.
5. Определяем так называемую амплитуду Ф = ФМнн той же эллиптической функции из соотношения
Sna Кмив = iPmub = (2 H- Q — R)l(6 -)- Q — R).
6. Тогда полное отклонение будет равно
6 = 4 (RlQ)V2 [F (п/2, в)-F (ФМИИ, в)] - я.
Отложенные здесь величины были любезно вычислены Джеймсом Айзенбергом на основе работы Дарвина [327, 328].
§ 25.6. [Орбита фотона, нейтрино или гравитона 347
2
ветвях и центральной роли функции отклонения 0 = 0 (Ь) в анализе рассеяния см., напрмер, [333, 334]). Для малых углов преобладает «резерфордовская» часть рассеяния. Основная часть рас-¦сеяния на малые углы (а в пределе 0 -v 0 и все рассеяние) происходит от фотонов с большими прицельными параметрами, для которых имеем
0 = -?^- (25.68)
(см. упражнения 25.21 и 25.24). Отсюда для эффективного сечения рассеяния получаем предельное выражение
1Ш = (ж)2 (малые 0)- (25.69)
Кроме того, при 0 = Jt дифференциальное эффективное сечение рассеяния обладает сингулярностью, имеющей характер ореола [см. обсуждение после формулы (25.44)]. Выписывая вклады в дифференциальное эффективное сечение от нескольких ветвей функции рассеяния и суммируя их, вблизи 0 = Jt имеем
(1,75+ 0,0029+ 0,0000055+...) =1,75-^s-. (25.70)
Таким образом, если посветить мощным источником света в черную дыру, то несколько фотонов вернется прямо назад. Формула (25.70) позволяет вычислить интенсивность возвращенного света (см. упражнение 25.26).
Если источник освещения находится не на стороне наблюдателя, а на противоположной стороне черной дыры, тогда вдобавок к «эффекту линзы», испытываемому фотонами, пролетающими с большими прицельными параметрами (литература по этому вопросу слишком обширна, чтобы ее процитировать здесь, однако см., например, [156]), для которых справедлива формула (25.68), имеется освещенность типа ореола (интенсивность ~ 1/sin 0, однако теперь отклонение 0 близко к нулю), получающаяся от фотонов, испытавших отклонения на 0 = 2л, 4л, ... . Эта освещенность идет от «колец яркости», локализованных на прицельных параметрах, определяемых формулой ЫМ — З3/2 = 0,0065;
0,000012, .... Интересно, что, хотя все эти оптические эффекты в принципе важны, среди всех способов наблюдения черной дыры они являются наихудшими; подробное обсуждение см. в части VI, п. В дополнения 33.3.
25.23. Качественные особенности фотонных орбит
Проверьте все утверждения об орбитах частиц с нулевой массой локоя, сделанные в дополнении 25.7.
8) эффект
гравитационной
линзы
УПРАЖНЕНИЯ
2
348 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
УПРАЖНЕНИЯ
25.24. Отклонение света
Используя вместо г безразмерную переменную и = М/r, а вместо прицельного параметра величину иъ = М/b, преобразуйте уравнение (25.55) в уравнение первого порядка
(~)2 + {\~2u)uz=--ul, (25.71)
а отсюда посредством дифференцирования в уравнение
-g- + u = 3u*. (25.72)
а. Покажите, что в приближении большого прицельного параметра или малого и, при котором можно пренебречь членом справа, решение уравнения (25.72) описывает элементарное прямолинейное движение (нулевое отклонение).
б. Подставьте это решение нулевого порядка в возмущающий
член 3и2 в правой стороне (25.72) и вновь найдите и («прямолинейное движение плюс поправка первого порядка»). Проверьте таким способом формулу для искривления света Солнцем, получающуюся из (25.49) при P = I.
25.25. Захват света черной дырой
Покажите, что эффективное сечение захвата света шварцшильдов-ской черной дырой равно CT3axB = 27пМ2.
25.26. Возвращение света от черной дыры
Покажите, что освещение черной дыры мощным импульсом света приводит в принципе к возвращению света от колец яркости, локализованных на ЫМ — 33^2 = 0,151; 0,00028, ....
Как можно оценить разницу во временных задержках этих четко различающихся вспышек, приходящих от черной дыры? Покажите, что интенсивность I отдачи (эрг/см2) как функция энергии E0 (эрг/стерад) первоначального импульса, массы M (см) черной дыры, расстояния R до нее и горизонтального расстояния г от «вспышки света» до приемника излучения отдачи равна
7 =-JiT S |-^ 1 = -^^(1,75+ 0,0029 + 0,0000055+...)
Є=(2Л+1)Я
в условиях, когда дифракцией можно пренебречь.
§ 25.6. Орбита фотона, нейтрино или гравитона 349
I
Дополнение 25.7. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ОРБИТ ФОТОНА В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
А. Уравнения, определяющие орбиту
1. Уравнение для радиальной части движения:
0,06 м-3 -
f 0,04 М~3
Д г/2? и3
I
1
0,02 U
с эффективным потенциалом
В~г (г) = г-2 (1 - 2М/г),
Ъ — прицельный параметр.
2. Дополнительные уравнения для угловой и временной частей движения:
d<f>/dk = 1/г2, dt/dX = Ъ'1 (1 - 2М/г)-1.
Б. Качественные особенности орбит *)
1. Частица с нулевой массой покоя с Ъ > 3]/3M падает от г = оо, «отражается от потенциального барьера» (периастр Ъ = В; dr/dk = 0) и возвращается к г = оо.
