Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
E = «энергия на бесконечности» = — р>{d/dt) = — р0,
Lz = «z-компонента момента импульса» = р -\г = р-(д/дф) = рф, Ly «!/-компонента момента импульса» = р -|в,
Lx = «^-компонента момента импульса»= р-\х. (25.77а)
2
1) основы анализа
2) решение
уравнения
Власова
2
352 35. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
Вдобавок интегралом движения является масса покоя каждой звезды
[Х = (рО2_р?2_р02_рФг)1/2_ (25.776)
Общее решение уравнения Власова в таком случае имеет вид JP = H (Е, Lxt Lv, Lz, ц).
Однако это общее решение не сферически симметрично. Например, функция распределения
JP = H (Е, ц, L2nLv)8(Lx)
соответствует скоплению звезд, все орбиты которых лежат в экваториальной плоскости 0 = я/2 (Lv = Lx = 0 для всех звезд в скоплении). Чтобы функция распределения скопления была сферически симметричной, она должна зависеть только от величины момента импульса
L= {L% + LI + L\fl%,
а не от его направления (не от ориентации орбитальной плоскости звезды). Поэтому общее сферическое решение уравнения Власова в статическом, сферическом пространстве должно иметь вид
JP =F (Е, L, ц). (25.78)
Чтобы использовать это общее решение, необходимо снова выразить интегралы движения Е, L, [о, через соответствующие координаты фазового пространства (г, г, 0, Ф,р°, Pr, Pe, Рф)- Масса покоя звезды дается формулой (25.776). Энергия на бесконечности получается из локально измеренной энергии, умноженной на коэффициент, учитывающий красное смещение:
E = — ро = ефр°. (25.79а)
Для орбиты в экваториальной плоскости (рв = рв = рв = 0;
Lx = Lv = 0) полный момент импульса имеет вид
j __ і -г і _ і і _ і ф і _ I «тангенциальная» \
zl — ІРфі— 1ГР|— \ компонента 4-импульса/’
В силу симметрии формула L = г X («тангенциальная» компонента р) должна быть справедливой также для орбит в других плоскостях; она должна быть совершенно общей:
L = Tpft (25.796)
рТ == (тангенциальная компонента 4-импульса) =
= №>S)2 +(P5)2Iv* (25.80)
(см. упражнение 25.9).
Прежде чем решать эйнштейновские уравнения поля, полезно иый.>сг‘тенаор свести тензор энергии-импульса (25.766) к более явной форме.
саЄааеадИМпуль' Все недиагональные компоненты Т® * и Т7% (/ фк) исчезают,
§ 25.7. Сферические звездные скопления 353
так как их подынтегральные выражения являются четными функциями pi. Подынтегральные выражения для диагональных компонент Г®Trr и у (Г®® + Г**) не зависят от угла 0=
= arctg (р*/рв) в плоскости импульсного пространства, поэтому элемент объема в импульсном пространстве можно записать в виде
dp® dpr dpP dp* -*• 2np?dprdp°.
Производя замену переменных (рт, рг, р°) на (рг, ц, р°), где
v = HpV-(Pl2-(Pf)2 Iv*, и обнаруживая, что каждому значению соответствуют два значения pr (drрг), приводим элемент объема к виду
2прЩр?dpr dp® 4я (р^|л/рг) dpfdp<>dfi.
Диагональные компоненты T [уравнение (25.766)] тогда принимают форму
р = Г00 = (полная плотность массы-энергии) =
= 4л j F (ефр°, грї, (Jt) (P02P^lPr) dp^dp^dyi., (25.81а)
Pt =4- (Г®® + T**)= т^§ _ т** = (тангенциальное давление) = t t
в силу сферической симметрии
= 2я j F (ефр®, rpf, ц)[(p*)3/pr)dpTdp°dp, (25.816)
Pr = Trr = (радиальное давление) =
= 4я j F (ефр5, грї, ц) (prpf) dpfdp*dp. (25.81в)
При вычислении этих интегралов следует выразить рг через переменные интегрирования
Pf= [(/)* - (Pf)2 - H2 ]*/г. [(25.81г)
Эйнштейновские уравнения поля для этого тензора энергии-импульса и метрики (25.73) после подстановки выражения (14.43)
для Ga^ в выполнения операций, аналогичных проведенным для сферической звезды (§ 23.5), принимают вид
Г
е2Л = (1 — 2m/r)~l, т = j 4яг2р dr, (25.82а)
о
d<t> т -J- 4лгЗРг
— --—-2т) • (25.826)
23—01508
2
4) решение уравнений ноля
2
354 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
Эти уравнения вместе с предполагаемой формой функции распределения F (E, L, |х) и интегралами (25.81) для р, Pr и Pt определяют структуру скопления. В дополнении 25.8 дан общий обзор этих уравнений внутреннего строения и конкретизация их на случай изотропного распределения скоростей. В дополнении 25.9 представлены и обсуждаются решения уравнения для изотермического звездного скопления (обрезанное максвелловское распределение скоростей).
упражнения 25.27. Изотропное звездное скопление
Для скопления с функцией распределения, не зависящей от момента импульса, получите свойства BI—Б6 из дополнения 25.8.
25.28. Автомодельное скопление (см. (336, 337])
а. Найдите решение уравнений внутрененнего строения сферической звезды с бесконечной центральной плотностью и уравнением состояния P = YP, где у-постоянная (0 < y < 1Zs).
б. Найдите изотропную функцию распределения F(E_n), которая приводит к звездному скоплению с теми же распределениями р, Р, ти Ф, что и в газовой сфере из п. «а» (см. дополнение 25.8). IОтвет:
р Y2 1
W— і + бу+і-2 2яг2 ’
е2А = (1 _ 2 те/г)'1 = (1 + 6у + 72)/(1 + Y)2, е2Ф = 5r4v/d+v), в = const,
