Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ap (t, r) = p[t, г+ I (t, г)] — р0 (г) «6р + р0% (26.4а)
Ap (t, г) = p|[*, г + ?(*, г)] — P0 (г) « бр + рД, (26.46)
An (t, г) = ге [(*, г + ?(«, г)] — п0 (г) « бге + паЪ (26.4в)
§ 26.4. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ
а. Сохранение барионов
Закон сохранения барионов V ¦ (геи) = 0 (§ 22.2) определяет эволюцию возмущений барионного числа Are и бге. Применяя к дивергенции цепное правило и используя соотношение U-Vre =V „ге = = dn/dx, закон сохранения можно переписать в виде
dn/dx = — re (V *и).
А
— производная от ге вдоль мировой линии жидкого элемента
Это уравнение можно.записать через Are — возмущение, измеренное наблюдателем, движущимся с жидкостью:
^L=-re(V.H). (26.5)
Для дальнейшего преобразования уравнения (26.5) необходимо иметь выражение для 4-скорости жидкости. Оно легко выводится из соотношений
ur / dr/dx \ I dr \ _ д\ I
ut \ dtidr ) \ dt J ВДОЛЬ fit 1
мировой линии
(и4)* Є2® — (Ur)* е2Л = 1.
В результате в первом порядке по ?, 6Л и 6Ф имеем
Ut = е-ф = e"®°(l - 6Ф), ur = (26.6)
§ 26.4. Уравнения для начальных вначений 363
Подставляя ати компоненты в уравнение (26.5) и используя соотношения
¦Ж— v-.-уУ=-(K=Fu-)..
и метрику (26.2), учитывающую колебания, приводим уравнение (26.5) к соотношению, интеграл по времени от которого равен
An = -Ti0 [r-VA° (raA I)' + 6Л]. (26.7)
Это уравнение на начальные значения для возмущения An как функции динамической переменной 1. Уравнение на начальные значения для бп, которое дальше не понадобится, получается путем комбинации уравнений (26.7) и (26.4в).
2
б. Адиабатичность
Для адиабатических колебаний (перенос тепла между соседними жидкими элементами пренебрежимо мал) лагранжевы изменения плотности числа частиц и давления связаны соотношением
д р
I д In р \ _г, _ ' п
l?KTj, = ll=_
t
р Д п
^26.8)
определение показателя адиабаты T1
Ьр = - TiPo [г~2<Гао (rV4)' + ЬA]-Ip0'.
(26.9)
2) для возмуще» ннй давления Др і вр
Комбинируя это адиабатическое соотношение с уравнением (26.7) для An и уравнением (26.4а) для бр как функции Ар, получаем следующее уравнение на начальные значения для Ьр\
в. Сохранение энергии
Локальный закон сохранения энергии [первый закон термодина мики и • (V -Т) = 0; см. § 22.2 и 22.3] гласит, что
dp
Р+Р
dx
dn
dx
__ Po+ Po
3) ДЛЯ возмуще» ННЙ ПЛОТНОСТИ Ap В бр
Будучи переписанным через лагранжевы возмущения (напомним, что d/dx — это производная по времени, измеренная наблюдателем, движущимся с жидкостью) — локальный закон сохранения энергии принимает вид
<?Др р + р dAn
dx п dx ’
а после интегрирования по времени (в первом порядке) имеем
2
364 26. Звездные пульсации
(Постоянная интегрирования равна нулю, поскольку при An = О Ap также должно обращаться в нуль.) Комбинируя это уравнение с уравнением (26.7) для An и уравнением (26.46) для бр как функции Ар, получаем следующее уравнение на начальные значения для бр:
бр = - (Po+Po) [г-*е~Ао (rV4)' + 6А] -ip;. (26.И)
г. Эйнштейновские уравнеиия поля
ннйМ?етрикиУще Два уравнения из системы эйнштейновских уравнений поля сво-
лл н 6ф дятся после линеаризации к уравнениям на начальные значе-
ния для возмущений метрики 6А и 6Ф. Необходимыми уравнениями, выраженными в ортонормальной системе отсчета
&* = єфііі, &г = еАЛ г, <aP = ri0, ©*=rsin0d j>, (26.12) являются уравнения
G7i=SnT-': и G7-=SnT--.
Г t Tt гг гг
Компоненты тензора Эйнштейна в этой ортонормальной системе отсчета были вычислены в упражнении 14.16:
G77 = 2 (АIr) е-(л+ф) = 2t"‘<T(Ao+<V6A, (26.13а)
t
линеаризовано
G7 7 = 2 (Ф'Ir) е~2л + Г2 (е~ 2Л -1) =
= (Gfp)0 + 2г~1ё~гк° 6Ф' -2<Г*Л° (2г-«Ф0' + г’2) 6А. (26.136) t
линеаризовано
Компоненты тензора энергии-импульса T-g = (р + р) и-Ug + + PtIap, если при их вычислении использовались 4-скорость (26.6) [преобразованная к виду и- = — I, U7 = |ело"фо] и выражения (26.3а) для р и р, можно записать следующим образом:
Т7? = -(Ро + Ро)еА°-ф°І T77 =Ро + 8р. (26.14)
В результате после интегрирования по времени и выбора постоянной интегрирования так, чтобы 6А = 0 при | = 0, уравнение поля G7 =SnT77 сводится к уравнению
6А = - 4я (р0 + р0) ге2Ч------(A0' + Ф0') I. (26.15)
Это уравнение на начальные значения для 6Л. Уравнение поля G7- = SnT7- после использования (26.15) для исключения 6A,
§ 26.5. Динамическое уравнение и граничные условия 365
(26.9) для исключения бр и (26.1в) для исключения Фо принимает вид
6Ф' = — 4яГ1/?0г'1в2Ло+фо (г2е"фо|)' + [Anp0'г — 4я (р0 + р0)] e2A°%.
(26.16)
Это уравнение на начальные значения для 6Ф.
2
§ 26.5. ДИНАМИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Динамическая эволюция смещения жидкости ? (t, г) определяется уравнением Эйлера (22.13):
(Р + Р) X (4-ускорение) = — (проекция Vp, ортогональная и).
(26.17)
4-ускорение a = VuU, соответствующее 4-скорости (26.6) в метрике (26.2), имеет единственную, отличную от нуля, линеаризованную ковариантную компоненту:
