Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
F = A (,ElBt ' V1+v)/v б (и - (I0) - Аґ* (Ялокаль„Г<1+т, А = const.)
25.29. Скопление с круговыми орбитами
Какова должна быть форма функции распределения, чтобы гарантировать, что все звезды движутся по круговым орбитам? Выпишите уравнения внутреннего строения в этом случае. Исследуйте устойчивость орбит отдельных звезд в скоплении, используя зависимость эффективного потенциала от г. Каким условиям должна удовлетворять функция распределения, чтобы все орбиты были устойчивыми? (Cm. [338, 339].)
§ 25.7. Сферические звездные скопления 355
2
Дополнение 25.8. УРАВНЕНИЯ ВНУТРЕННЕГО СТРОЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКОГО ЗВЕЗДНОГО СКОПЛЕНИЯ
А. Чтобы построить модель звездного скопления, поступим следующим образом:
1. Определим функцию распределения JT — F (E, L, ц,), где
E — энергия звезды на бесконечности,
L — момент импульса звезды, ц, — масса покоя звезды.
2. Решим следующие два интегродифференциальных уравнения для метричес-
Л
ких функций т = Y г (1 — е~2Л) и Ф с линейным элементом ds2 = —е2ф dt% + е24 dr8 + гг dQ%:
T
т,= j 4яг*рdr, о
<*Ф т-\-Anr3Pr
dr г (г—2т) '
где
р = 4д I F (ефръ, гPf, (Л) [(р5)2 рї/р7} dpfdps d|A,
Pt = 2л j F (ефр«, грТ, ц) Up7)3/? ] dp* dps d\i,
Pr = An j F (ефр®,грТ, ц) (prqf) dp*dp^dp,
P7=KPb2-(Pf)2-^
В подынтегральных выражениях для p, Pt и Pr величины рТ, р° , ц пробегают все положительные значения, для которых (р° )8 — (рТ)г — (Л2 ^ 0.
Б. Если функция распределения не зависит от момента импульса, то
1.F = F (Е, Ц).
2. Распределение скоростей звезд в каждой точке скопления изотропно.
3. р = 4я j F (ефр®, ц) [(р0)2— ц2]'7* (p®)2dp°dp.
4. Давление изотропно
Pr = Pr = P = j F (ефр\ ц) (р“ - ц2)3/2 dpsdn.
5. Полная плотность массы-энергии р, давление P и метрические функции Ф
Л
и m=Yr(i —е~2А) удовлетворяют уравнениям внутреннего строения
23*
2
356 25' *Яма е потенциале» как основное свойство потенциала
газовой сферы («звезды»)
Г / Oj йФ т + 4лг3Р
M=JWp*, —= г (г — 2т) ¦
riP ^ (р+Р) (т + 4лгЗР)
гіг г (г — 2т)
6. Таким образом, каждому статическому сферическому звездному скоплению с изотропным распределением скорости соответствует единственная газовая сфера с такими же распределениями р, Р, т и Ф.
7. Обратно [340], задавшись газовой сферой (решение уравнений внутреннего строения звезды для р, Р,т а Ф), можно всегда найти функцию распределения F (E, ц), которая описывает скопление с теми же самыми р, P1 т и Ф. Однако для некоторых газовых сфер функция F оказывается обязательно отрицательной в части фазового пространства и, таким образом, нефизичной.
Дополнение 25.9. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ ЗВЕЗДНЫЕ СКОПЛЕНИЯ А. Функция распределения
1. Можно ожидать, что в любом релятивистском звездном скоплении близкие случайные столкновения между звездами будут «термализовать» звездную функцию распределения. Это предполагает изучение изотропных сферических скоплений с функцией распределения Больцмана (она считается равной нулю для = Ее~ф < ц„)
JT =F (Е, L, ц) = Ke-W б (ц _ Ji0). (1)
Здесь К — нормировочная постоянная, T — постоянная «температура», и предполагается, что все звезды имеют одинаковую массу покоя р,0.
2. В таком скоплении наблюдатель, расположенный на радиусе г, видит, что звезда с энергией на бесконечности E имеет локально измеренную энергию
рО — (масса-энергия покоя) + (кинетическая энергия) -------------— Ее~ф^Т\
11 — V2) /а
(2)
Следовательно, звезды в его окрестности имеют больцмановское распределение
- - - = J\T = к exp (-P0IT
локальн )6(Ц-Цо) (3)
а3р сРх d\i
с локально измеренной температурой
Т'локальн (г) = Te ф(г). (4)
Таким образом, температура в скоплении испытывает тождественно то же самое красное или голубое смещение, что и фотоны, частицы и звезды, которые движутся в скоплении. (Вывод этого закона красного смещения температуры для газа в тепловом равновесии см. в части «д» упражнения 22.7.)
3. В действительности больцмановское распределение (1) может никогда не до-
§ 25.7. Сферические звездные скопления 357
2
стигаться. Звезды с E > Ji0 гравитационно не связаны и будут уходить из скопления. В больцмановском распределении подразумевается, что функция распределения остается неизменной, если число звезд с теми же энергиями, уходящих к г = OO, равно числу звезд, приходящих от г = OO. Ясно, что такая ситуация нереалистична. Вместо этого следует ожидать, что в результате ухода звезд функция распределения обрезается на некоторой энергии ЕМЛКС, несколько меньшей ^i0. Таким образом, в идеализированном виде имеем «обрезанное распределение Больцмана»
/Г —FlF T \ — J Ае~Е/Т® (f1- Е<.Екакс,
J F(EtLllI) j ^ ? > Екакс. (5)
Структура и устойчивость моделей скоплений
1. Модели звездных скоплений с обрезанными больцмановскими распределениями построили Зельдович и Подурец [282], Факерелл [341] и Ипсер [283]; они использовали процедуру, описанную в дополнении 25.8. Ипсер рассмотрел бесстолкновительные радиальные колебания таких скоплений.
