Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2. Покажите, используя аргументы, связанные с симметрией и обращением времени, что можно ввести координаты, в которых
ds2 = — е2ф dt2 -f- е2Л dr2 -f- г2 [еЮ2 + sin2 0 dqі2] —
— 2 (г2 sin2 0) со dtj> dt, (26.23)
где
ф = ф(г), A= Л (г) и ш = ш(г, 0). (26.24)
Покажите, что в первом порядке по угловой скорости Ф = Ф„
и Л = A0 (возмущения отсутствуют!).
3. Примите следующее точное определение угловой скорости Q (г, 0):
Q == и* Iui = (?^/?Й)движение с (26.25)
ЖИДКОСТЬЮ
Предполагая, что ит = ив = 0 (т. е. что вращение происходит в направлении ф), вычислите 4-скорость жидкости.
4. Используя эйнштейновские уравнения поля, выведите дифференциальное уравнение для возмущения метрики ш как функции угловой скорости Q.
5. Решите полученное дифференциальное уравнение вне звезды в элементарных функциях и выразите решение для м (г, 0) через полный момент импульса S, измеренный удаленными гироскопами (см. гл. 19). Первоначальные рассмотрения этой проблемы и связанных с ней вопросов можно найти в работах [180, 349-355].
§ 26.6. Краткая сводка , результатом 369
2
Дополнение 26.2. КРИТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ АДИАБАТЫ ДЛЯ ПОЧТИ НЬЮТОНОВСКИХ ЗВЕЗД
А. Полностью ньютоновские звезды
1. Для синусоидально пульсирующей “ ньютоновской звезды I = і (г) е~ш динамическое уравнение (26.19) сводится к уравнению
2. Если по всей звезде T1 = V3, то физически приемлемое решение [решение, удовлетворяющее граничным условиям (26.22)] для основной моды колебаний (мода с наинизшим значением со2) имеет вид
Таким образом, для F1 = V3 основная мода «нейтрально устойчива» и имеет «гомологичную» функцию смещения, не зависящую от уравнения состояния или строения звезды.
3. Если допустить, что T1 зависит от г, причем незначительно отличается от V3, то тогда смещение ? (г) будет иметь форму, незначительно отличающуюся от гомологичной:
? = єг [1 + зависящие от г поправки порядка (I\ — V3)].
Следовательно, если в вариационном принципе дополнения 26.1 в качестве пробной функции использовать гомологичное выражение | = ег, то получим а8 с точностью О [(Гх — V3)2]. (Напомним, что ошибки первого порядка в пробной функции приводят в вариационном выражении к погрешностям второго порядка.) В ньютоновском пределе с гомологической пробной функцией вариационное выражение [формула (3) дополнения 26.1] принимает вид
Используя ньютоновскую вириальную теорему для непульсирующей звезды [формула (39.216) или упражнение 23.7], можно преобразовать выражение (3) к виду
где Q — гравитационная энергия звезды, a / = j (p0r2)4nradr — след
второго момента распределения массы (см. дополнение 24.2 и упражнение 39.6).
[ГіРоГ (?/г)Т+ 3 (TlP0IIr)' — 4 po'1/r + W2PoS = 0.
(1)
CO2 = О, I = ег, є = const.
(2)
R
J 3Poг2 dr
(D2 = (ЗГ, - 4) ---------+ О [(ЗГ, - 4)2],
(3)
S Po г4 dr
О
где Ti — усредненный по давлению показатель адиабаты
я
J Гip0Anr2 dr
(4)
ю» = Or1 - 4) I Q I//,
(5)
24-01508
2
370 26. Звездные пульсации
Б. Почти ньютоновские звезды
1. Если учесть релятивистские поправки первого порядка (поправки порядка MIR), но игнорировать поправки высшего порядка, то вариационное выражение [формула (3) дополнения 26.1] можно переписать в виде
R R
J Ро[ГігЧ2Ч-(ЗГ1-4)(гЗт)2)'](1 + Л0+ЗФ0)*-5 Frfdr 0,2 = -0--------- -----------------------------о-------------------f (6)
J Por4 (1 + ЗЛ0 + Ф0 + Ро/Ро) Л2 dr о
где
F0 SB SnriPoPo + Srm0P0 + PoWio, Л = С/Г3 = (l/r) (1 — Ф0), (7)
а т0 (г) — равновесная масса, содержащаяся внутри радиуса г.
2. Для релятивистской звезды с поправкой T1 — iI3 порядка MIR и MIR 1 гомологичная пробная функция | = гг будет еще очень точной. Такой же точной и удобной для работы будет функция | = егеф° ег (1 + Ф„), которая соответствует = е = const. Относительные ошибки в пробной функции будут порядка М/r, а ошибки в вариационном выражении иг будут порядка (MIR)*. Подставляя эту пробную функцию в вариационное выражение (6) и удерживая только релятивистские поправки порядка М/Я, получаем
ш® = 3 (Гх — Г) крит) I Q \И. (8)
Здесь T1 — усредненный по давлению показатель адиабаты, а критическое значение показателя адиабаты Tt КОИт равно
Г і крит = + aM/В, (9)
где а — положительная постоянная порядка единицы, которая определяется формулой
a = TT7W J (3po^+4P°-^)^dr. (10)
о
Выражение (8) для частоты пульсации и выражение (9) для показателя адиабаты играют важную роль в теории сверхмассивных звезд (§ 24.4).
3. Об альтернативных выводах вышеприведенного результата см. [278, 279» 300, 346 -348].
ЧАСТЬ
ВСЕЛЕННАЯ
Здесь читатель, охваченный радостью после покорения звезд, пытается установить господство над всей Вселенной и становится в тупик перед непостижимой тайной —
Начальной Сингулярностью
24*
27. ИДЕАЛИЗОВАННЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ "
1
С моей точки зрения, без использования принципов общей теории относительности невозможно достичь теоретическим путем каких-либо, хоть в какой-то мере надежных, результатов в области космологии.
