Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
E — энергия на бесконечности на единицу массы покоя,
L — момент импульса на единицу массы покоя.
2. Дополнительные уравнения для угловой и временной частей движения в случае «прямой» орбиты дфIdx > 0:
d^/гіт = L/r2,
dt _ E dx I — 2 Mjr
і)
Уравнение
ния:
J) Вывод CM. в тексте.
§ 25.5. Орбиты частиц 341 |
Б. Ньютоновский предел I E — I | < I, Mlr < I, Llr < 1
1. Говорим не об «энергии на бесконечности на единицу массы покоя» E = Е/ц — = (I — i>So)_1/*, а о «нерелятивистской энергии на единицу массы покоя»:
є =(?2-1)« ? -1 « і. V*,.
2. Говорим не о V2 (L, г), а о ньютоновском эффективном потенциале
VN{L, r) = ±-(V2-
3. Переписываем уравнение с эффективным потенциалом в виде
т (If+<¦>-«.
4. Из зависимости эффективного потенциала от г и вспомогательного уравнения дфідх =
= Clr2 делаем выводы:
а. Частицы с е > 0 (? > 1)' приходят от г = оо по гиперболическим или параболическим орбитам, отражаются эффективным потенциалом в точке е = Vn [E2=V2', «точка поворота»; (drIdi)2 = Ol и возвращаются к г = оо.
б. Частицы с е < О (Е <С 1) движутся взад 0 и вперед в эффективной потенциальной яме между периастром (внутренняя течка поворота эллиптической орбиты) и апоастром (внешняя точка поворота).
В. Релятивистские орбиты
Для получения качественных особенностей орбит используем зависимость эффективного потенциала от г, представленную на фигуре в п. А, а здесь (воспроизведенную для различных L) так же, как мы использовали зависимость эффективного потенциала от г в ньютоновском пределе (п.Б). Сформулируем основные выводы.
1. Орбиты с периастрами при г M являются кеплеровскими по форме, за исключением сдвига периастра (упражнение 25.16; § 40.5), известного для Меркурия.
2. Орбиты с периастрами при г ^ IOAf заметно отличаются от’ кеплеровских.
3. Если LIM < 2|/ 3, то периастр отсутствует и любая падающая частица с необходимостью затягивается в г = 2М.
4. Если 2/3 < Г/М < 4, то имеются связанные орбиты, по которым частица движется внутрь и наружу между периастром и апоастром, однако любая
2
342 25. «Яма в потенциален как основное свойство потенциала
частица, приходящая из г = оо (несвязанная; E2 ^ 1), с необходимостью затягивается в г = 2М.
5. Если L+ = LIM > 4, то имеются связанные орбиты; частицы, приходящие от г = оо с
_ I-I-Vr 1 —12/Л+2
Я2 < Пако = (1 - 20 (I + L^ull),
достигают
6
однако частицы, |КС, затягиваются
периастров и возвращаются затем к г = оо;
пришедшие от г = оо с ?’’> Fj вг = 2М.
6. В минимуме эффективного потенциала имеются устойчивые круговые орбиты; минимум движется внутрь OT Г = OO ДЛЯ L— OO к г = 6M для l) — LIM =2 Наиболее сильно связанная устойчивая круговая орбита (LlM= 2/3, г = = 6М) имеет относительную энергию связи
= I-S=I —/8/9 = 0,0572.
ц
7 В максимуме эффективного потенциала имеются неустойчивые круговые орбиты; максимум движется наружу от г = 3M для L = оо до г = 6M для Ъ/М = 2/3. Если частицу, движущуюся по такой круговой орбите, подтолкнуть внутрь, то она будет падать по спирали кг = 2М. Если частицу подтолкнуть наружу и она имеет E2 > 1, то она уйдет к г = оо, а если частица имеет E2 <1, то она или достигнет апоастра и затем перейдет на спиральную орбиту, упав, в конечном счете, на звезду (например, при ЬЕ> 0), с неизменным моментом импульса, или будет двигаться наружу и внутрь между апоастром и пери-астром по устойчивой связанной орбите (например, при 8E < О снова с неизменным моментом импульса).
§ 25.6. ОРБИТА ФОТОНА, НЕЙТРИНО
ИЛИ ГРАВИТОНА В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Понятия «энергия на единицу массы покоя» и «момент импульса на Орбиты частиц единицу массы покоя» теряют смысл для объекта с нулевой массой
маы»й“окоя: покоя (фотона, нейтрино, даже гравитона, исследуемого в упраж-
нении 35.16).Однако можно рассмотреть движение частицы с конечной массой покоя ц и перейти к пределу pi ->-0. В этом пределе величины
E = E/]i
§ 25.6. Орбита фотона, нейтрино или гравитона 343
2
в
L = Ll\t
по отдельности стремятся к бесконечности, однако отношение /момент \
прицельный\ _ . \ импульса/_______L____________Ъ
параметр ) ~ ~~ (импульс) — (.Е2—ц2)1/* ~~ (?2—1)1/г
стремится к конечной величине
Lim -4- = Ь.
и-*о E
В этом пределе уравнение (25.41), определяющее форму орбиты, немедленно принимает простой вид
(25.55)
V г2 гіф ) ^ г2 62 * ' ;
или
f25-56»
или
(w)2 + “s(1-2»>.(-?-)2-^-. (25.57)
Каким бы образом не записывалось дифференциальное уравнение» определящее форму орбиты, один член в ием зависит от выбора орбиты (член 1 /Ьг), другой — от свойств шварцшильдовской геометрии, но не от выбора орбиты. Этот второй член определяет вид эффективного потенциала
/«эффективный потенциалV „ , . . 1—2М/г
\ для фотона» )=в (г)--------Ti—* (25-58>
Здесь мы не пытаемся извлечь корень квадратный, как это было сделано в случае частицы с конечной массой покоя. Там корень извлекался для того, чтобы получить величану, которая в нерелятивистском пределе сводится к ньютоновскому эффективному потенциалу (плюс масса покоя), но для света (v = 1) нет нерелятивистского предела. Поэтому в дополнении 25.7 представлена непосредственно зависимость от г эффективного потенциала (25.58), который используется там для анализа некоторых принципиальных особенностей орбит фотона в шварцшильдовской геометрии.
