Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
время t [уравнение (25.32)]. Для равновесных звезд, которые должны иметь радиус R > 2М, координатное время t падения к поверхности г = 2М, разумеется, конечно.
25.16. Сдвиг периастра для почти круговых орбит
Перепишите уравнение (25.42) в виде
(du/dfy)*+ (1 - 6и0)(и-и0)2 - 2 (и-и0)3 = (?2 - EDfLn. (25.47)
Выразите постоянную U0 = Mlr0 через LIM1 а величину E0 через и0. Покажите, что для почти круговой орбиты радиусом г0 угол, заметаемый между двумя последовательными периастрами (точками ближайшего подхода к звезде) линией, соединяющей частицу с центром, равен
Дф = 2п (I—QMlr0)-1/2. (25.48)
Изобразите схематически форму орбиты для г0 = 8М.
25.17. Угловое движение во время падения
Выведите, исходя из уравнения (25.42), что полный угол Аф, описываемый траекторией частицы, падающей в г = 0, конечен. Расчет простой, однако если принять во внимание поведение t (X) на той же траектории [уравнение (25.32) и упражнение 25.15], то интерпретация не так проста. Интерпретация будет рассмотрена в гл. 31.
25.18. Максимум и минимум эффективного потенциала
Получите приведенные в подписи к фиг. 25.2 выражения для положений максимума и минимума эффективного потенциала как функции момента импульса. Определите также предельную форму зависимости высоты барьера от момента импульса в пределе, когда момент L очень велик по сравнению с М.
25.19. Справедливость закона Кеплера для круговых орбит
Из уравнения (25.17) для df/dr и уравнения (25.18) для dt/dr выведите выражения для круговой частоты обращения, фиксируемой удаленным наблюдателем, и, используя результаты упражнения 25.18 (или как-то иначе), покажите, что круговая частота обращения точно удовлетворяет кеплеровскому сообщению
CO2/-3 = M
для любой устойчивой (минимум потенциала) или неустойчивой (максимум потенциала) круговой орбиты со шварцшильдовской координатой г.
§ 25.5. Орбиты частиц 339
2
25.20. Функция Гамильтона — Якоби
На плоскости г, 0 постройте геометрическое место точек постоянной динамической фазы S (t, г, 0) = 0 для t = 0 и для значений L = = AM, E = 1 (или для L = 2]/^ЗЛ/, ? = (8/9)1/2, или для некоторых других столь же простых наборов значений этих двух параметров). Покажите, что полный набор поверхностей постоянной фазы S можно получить, поворачивая вышеупомянутое геометрическое место точек на один угол, затем на другой и т. д., перекопируя или повторяя. Дайте физическую интерпретацию основных особенностей получающейся картины кривых.
25.21. Сопоставление отклонений, вызываемых гравитационной и электрической силами
Пробная частица пролетает мимо массы M с произвольной скоростью Рис таким большим прицельным параметром 6, что отклонение мало. Покажите, что отклонение равно
0=Ж!(1+Рг)- (25'49)
Следуя ньютоновской механике, получите величину отклонения для частицы, движущейся со скоростью света. Покажите, что в пределе при P —у 1 отклонение (25.49) равно удвоенному ньютоновскому отклонению. Для сравнения выведите также (в плоском пространстве-времени) формулу для отклонения ядром с зарядом Ze быстрой частицы с массой покоя fj, и зарядом е:
(25'50>
Как можно исключить «векторную» теорию тяготения (см., например, [330]), построенную по аналогии с теорией электромагнетизма, наблюдая искривление света Солнцем? [Указание: Для упрощения математического анализа вернитесь к уравнению (25.42). Оно представляет собой уравнение второго порядка относительно производной по ф. Перенесите в левую часть все члены, которые были бы там в отсутствие тяготения, а в правой части оставьте все те члены, которые получаются после дифференцирования по ф из слагаемого —2и (тяготение), входящего в коэффициент (1—2и). Пренебрегая правой стороной, решите уравнение точно (движение по прямой линии). Вычислите возмущающий член справа как функцию ф, подставляя в него невозмущенное выражение для и (ф). Вновь решите получающееся уравнение и найдите отклонение.]
УПРАЖНЕНИЯ
I 340 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
упражнения 25.22. Захват черной дырой
Кроме рассеяния частиц черной дырой, происходит прямой захват в черную дыру. Покажите, что эффективное сечение захвата равно пЬкрит. гДе критический прицельный параметр Ькрит дается выражением І'крлт/СЕ2—Ц2)1/2. Исходя из формулы, приведенной в подписи к фиг. 25.2 (или как-нибудь иначе), покажите, что для частиц высокой энергии эффективное сечение захвата изменяется с энергией следующим образом:
ам„ = 27яМ’(і + -|г+...) (25.51)
(фотонный предел для E —*¦ оо), а для частиц низкой энергии как
(Тзахв = 16 JiM2VP2, (25.52)
где P — отношение скорости частицы к скорости света [331].
Дополнение 25.6. КАЧЕСТВЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОРБИТЫ ЧАСТИЦЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
А. Уравнения, определяющие орбиту
1.
«Точки поворота» орбиты представляют собой пересечения горизонтальной линии высотой E2 с кривой Vа.
для радиальной части движе-
(dr/dt)2 -\- V2 (L, г) Eh с эффективным потенциалом
У2 (L, г) =-- (I - 2MIr) (I +L2Ir2),
