Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
гіф L dr г2
Решая второе уравнение относительно dx и подставляя в первое, находим
Немдяалыше
орбиты:
1) фурье-анализ
2) детали движения с моментом импульса
(I?)'= gl~('~2*«1 + t<;!“,) • (25-42)
(25.42)
В упражнении 25.16 представлено видоизмененное дифференциальное уравнение (25.42); оно используется для получения следу-
2
336 25. «Яма в потенциале* как основное свойство потенциала
Я) почти круговые орбиты: сдвиг пернаотра
4) качественные свойства движения для ряда значений момента импульса
Раооеяние
падающих
чаотяц:
1) реаерфордов-ское (нереляти-виотокое) аффективное оеченио раооенгош
2) новые овойотва, обусловлен* ные релятивистской гравитацией
ющего выражения для угла, заметаемого между двумя последовательными точками ближайшего подхода к звезде линией, соединяющей с центром частицу (или планету), движущуюся по почти круговой орбите:
(25ЛЗ)
Радиально движущаяся частица изменяет направление своего движения на противоположное, если величина E2 — V2 (г) или E —V (г) как функция г меняет знак; из формулы (25.43) между г и ф это так же ясно видно, как из ранее рассмотренного соотношения между г и временем. Напомним вновь кривые зависимости
V (г) от г для выбранных значений L (см. фиг. 25.2). По этим кривым можно определить (без расчета вообще) главные характерные свойства типичных орбит (дополнение 25.6), полученных путем численного расчета. Перечислим эти характерные свойства:
1) круговая орбита, если E совпадает с минимумом эффективного потенциала V (г),
2) прецессия, если E немного больше Vmhhi
3) временное «обращение» (много раз вокруг центра притяжения), если E близко К Умаис<
4) «захват в черную дыру», если E превышает Умакс.
Более подробный анализ проведен в дополнении 25.6. (Точный аналитический расчет орбит в шварцшильдовской геометрии Cm. в работах [326—329].)
Для орбит с положительной энергией не известно лучшей характеристики силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния, чем формула рассеяния Резерфорда. Она дает «эффективную величину площади мишени», представляющей собой центр притяжения, для частиц, рассеянных под углом 0 внутрь телесного угла dQ и зарегистрированных удаленным приемником:
^--------:--- [резерфордовское (нерелятивистское)
[4 (?" I) sin2 0/2]2 эффективное сечение рассеяния] (25.44)
[вывод см. в дополнении 25.4, уравнения (8)-(15)]. Переходя от ньютоновского анализа к общерелятивистскому рассмотрению, находим два новых удивительных свойства рассеяния, связанных с движением по орбите.
1. В приемник поступают не только те частицы, которые были отклонены от первоначального направления движения на угол 0 (единственный вклад в резерфордовское рассеяние), но также и те, которые были отклонены на углы 0 + 2л, 0 + 4л и т. д. (бесконечный ряд вкладов).
2. Несмотря на то что эти'дополнительные вклады конечны по величине и даже конечны по величине «на единичный интервал 0»,
§ 25.5. Орбиты частиц 337
2
они становятся бесконечными, если их отнести к единице телесного угла dQ = 2л sin QdQ в прямом (0 = 0) или в обратном (0 = л) направлениях.
Это обстоятельство не вызывает эффективных изменений для рассеяния вперед: эффективное сечение рассеяния бесконечно уже в нерелятивистском приближении (бесконечность в резерфор-довском значении da/dQ при стремлении 0 к нулю возникает от вклада частиц, пролетающих с большими прицельными параметрами и испытывающих малые отклонения, см. упражнение 25.21). В противоположность этому эффективное сечение рассеяния назад,
конечное в резерфордовском анализе, становится также беско-
нечным
(**\ (25.45)
\ dQ I е~я sin 9 4 '
Эта концентрация рассеянного назад излучения известна как «ореол». Эффект легче всего видеть, наблюдая очень яркое свечение вокруг тени самолета на расположенных значительно ниже облаках (рассеяние светового луча на 180° в водяной капле). Он также ясно виден, если наблюдать рассеяние атомов на атомах на 0 « 180°. Белый карлик или даже нейтронная звезда недостаточно компактны, чтобы заставить быстро движущуюся частицу совершить поворот на 180°. Такой эффект может выэвать только черная дыра.
С другими интересными особенностями движения в шварц-шильдовской геометрии можно познакомиться в приведенных ниже упражнениях.
25.13. Качественные формы орбит частиц
Проверьте утверждения об орбитах частиц, сделанные в части В дополнения 25.6.
25.14. Прицельный параметр
Для рассеянной орбиты (т. е. несвязанной орбиты) покажите, что L = Ev00 Ь, где Ь — прицельный параметр, a U0o — асимптотическое значение обычной скорости; покажите также, что
Ъ = Ь!{& - I)1'2. (25.46)
Нарисуйте картину, иллюстрирующую физическую сущность прицельного параметра.
25.15. Время падения кг = 2 M
Покажите, исходя из уравнения (25.16) и первой фигуры дополнения 25.6, что орбиты (с любым значением LI) приближаются кг = =2M за конечное собственное время, но бесконечное координатное
УПРАЖНЕНИЯ
22-01508
2
338 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
