Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ja=J **•
t--
7л о лж.-мл < М—Я М!г\ж (25.36)
[?2_у2]1/а
E dr
[12 _ (1 — 2М/Г) (1 +'?2/г2)]1/8 (1 — 2Af /г)
S 25.5. Орбиты частиц 333
0,4
0,6
j L-i IvJ і—1_j—і і—і I .і Li—і—L-
-5 0 5 10
ФИГ. 25.4.
Зависимость эффективного потенциала при движении в шварцшильдовской геометрии от черепашьей координаты для выбранных значений момента импульса пробной частицы. Момент импульса L выражен в единицах Afц, где M — масса черной дыры, а ц — масса пробной частицы. Эффективный потенциал (включающий массу покоя) выражен в единицах ц; таким образом, V = Vlfi.. Черепашья координата г* « г + 2M In (гИМ — 1) дана в единицах M.
Даже для случая радиального движения (L = 0) интегрировать здесь нелегко, как это видно из полученного сложного выраже-
Здесь т) — тот же самый циклоидный параметр, который появляется в формуле (25.28) и дан на фиг. 25.3 (на фиг. 25.5 представлена зависимость г от t, иллюстрирующая асимптотическое приближение кг = 2М). Почему трудно проинтегрировать время t и легко проинтегрировать время т, определяемое формулой (25.28), объясняется просто. При X = Ob (25.27') есть только две особые точки: начальная точка г = R, в которой скорость обращается в нуль, и точка г = 0, где скорость dr/dx становится бесконечной. В противоположность этому формула (25.36), переписанная в виде
ния [325]1):
.Л1/4 •
I) sm rj -f-t
(25.37)
*) Выкладки приведены в книге (308].
2
334 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
4) свободное падение от г —
—Время/М -#>¦
ФИГ. 25.5.
Падение в шварцшильдовскую черную дыру, описанное сопутствующим наблюдателем (собственное время т) и удаленным наблюдателем (шварцшильдов-ское координатное время t). При одном описании точка г = 0 достигается, причем быстро [см. формулу (25.28)]. При другом описании точка г = О никогда не достигается и даже точка г = 2М достигается только асимптотически [формулы (25.35) и (25.37)]. О качественных особенностях движения в обоих случаях легче всего судить, рассматривая зависимость «аффективного потенциала ва единицу массы» V от г (фиг. 25.2), если интерес представляет собственное время, или 1 зависимость того же эффективного потенциала ^ от «черепашьей координаты» г* [фиг. 25.4 и уравнение (25.31)], если интерес представляет шварцшильдовское координатное время t.
содержит три особые точки: г — R, г = 0 и дополнительную точку г «="221/ с совершенно новой физикой. Учет момента импульса увеличивает количество особых точек, и интегрирование можно выполнить лишь численно или качественно (с помощью потенциальной кривой на фиг. 25.4) или выразить результат через эллиптические функции [326].
Часто удобно абстрагироваться от точного значения г = R в начале коллапса. В этом случае рассматривают предел R -> оо. Удобно сместить нуль собственного времени к моменту окончательной катастрофы. В этом пределе имеем
т/2Л/= -(2/3) (г/2М)*1\
Ц2М= —(2/3) (r/2M)Vt—2 (r/2M)1/z+ In • (25.38)
При очень большом отрицательном времени частица находится далеко и приближается очень медленно. Тогда можно записать
г = (Шг*/2)Уа « (QMtW)1Ia; (25.39а)
при этом не играет роли, обращаемся ли мы к координатному или собственному времени. Однако конечные стадии падения вновь сильно отличаются в зависимости от того, выражены ли они через собственное время (т -> 0, г -*¦ 0) или через шварцшиль-
§ 25.5. Орбиты частиц 335
2
довское координатное время
ГІ2М = 1 + 4е-изе-‘/2М.
(25.396)
Переходя от чисто радиального движения к движению с моментом импульса, рассмотрим ситуацию, когда основные характеристики движения (компоненты Смещения, скорость и ускорение) обычно представляют в виде рядов Фурье (в шварцшильдовском координатном времени), которые так удобны в ньютоновском пределе при рассмотрении излучения и возмущений одной орбиты другой и возмущений самой движущейся частицы приливным действием центра притяжения. Любой точный расчет этих коэффициентов выглядит трудным. На сегодня значение фурье-амплитуд кажется лучше всего выводится путем последовательных приближений, стартующих от ньютоновского анализа (см. дополнение 25.4 и цитированные там работы).
Б связи с любым таким фурье-анализом уместно напомнить, что когда движение происходит по точно круговой орбите (предел чисто радиального движения с L = 0), то появляется одна фундаментальная частота, а все высшие гармоники имеют нулевую амплитуду. Поэтому интересно отметить (упражнение 25.19), что круговая частота этого движения со, измеренная удаленным наблюдателем, связана со шварцшильдовской координатой г орбиты кещшровской формулой нерелятивистской физики
coV3 = M (точно; в общей теории относительности). (25.40)
Обратимся теперь от соотношения между г и временем к соотношению между г и углом обращения [здесь он обозначен через ф, а в методе Гамильтона — Якоби (см. дополнение 25.4) — через 0, однако в последующем изложении такое расхождение в обозначениях не имеет значения]. Вернемся к уравнению (25.16)
и вспомним также уравнение (25.17)
