Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
То же циклоидное соотношение, которое связывает г со временем свободного падения частицы, связывает также радиус «фридмановской пылевидной Вселенной» jc временем (см. дополнение 27.1), за исключением того, что циклоидная ^диаграмма применима там непосредствеййо без Какого-либо различия !масштабов двух ключевых переменных:
г = -тр (I + cos tI) (шварцшильдовская координата г),
т = —( ¦ ) (г)+sin т]) (собственное время)
/координатное время, тождественное
(для иадшс і\)і
Начало отсчета т] отнесено к моменту начала взрыва; дополнительно о корреляции между падением частицы и расширением Вселенной см. в [308].
§ 25.5. Орбиты, частиц 331
2
движения (радиального или нерадиального) и там, где появляется производная dr/di, заменим ее согласно соотношению
dr
dr dt
dr
E
dx
dt d\~ dt (I — 2Mjr) ^ dt • (25.30)
Здесь r* — сокращенное обозначение новой «черепашьей координаты»:
гщг='+“Чіг-'). (25-31)
которая была введена Уилером [175] и популяризовалась Редже и Уилером [324]. Таким образом, получаем уравнение
(Ёж) + Р* = ®*
(25.32)
где эффективный потенциал есть тот же эффективный потенциал, с которым мы имели дело прежде:
V = [(1 - 2 М/г) (I + Z2/r=)]1/2. (25.33)
Кроме того, энергия Є в правой стороне (25.32)— это та же самай энергия Ё, которая появилась ранее в уравнении для (dr/dry. Следовательно, как и прежде, имеем те же точки поворота и то же качественное описание движения. «Точка поворота есть точка поворота есть точка поворота». Правильно? То, что касается точек поворота правильно, но вывод относительно характера движения ошибочен. История такова, что Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху. Как только он достигает места, где она была, черепаха продвигается вперед к новому положению, а когда он там появляется, она уходит еще дальше вперед и т. д. до бесконечности. Представьте себе, что путь между Ахиллесом и черепахой направлен влево и ожидаемая точка пересечения лежит на г = 2М. Координата г не испытывает препятствий при проходе через значение г = 2М. He так ведет себя «черепашья координата» г*. Она может произвольно далеко пробегать в направлении минус бесконечность (в соответствии с беснонечным числом раз, когда Ахиллес достигает места, где была черепаха) и когда г все еще остается вне г = 2М:
2) «черепашья» радиальная координата как функция координатного времени, г* (t)
8) детали подхо-да к шварцшиль-довскому радиусу (г = 2 М)
г/2 M 1,000001 1,0001 1,01 1,278465 2 5 10 10000
г*/2М —12,8155 —8,2102 -3,5952 0 2 6,386 12,303 10009,210
Из этого следует, что имеется большое различие между описанием движения в терминах собственного времени т часов, расположенных на падающей частице [г проходит весь путь от г = R до
2
332 25. аЯма в потенциале» как основное свойство потенциала
г = О аа конечное собственное время (25.29)], и описанием движения в терминах шварцшильдовского координатного времени соответствующего бесконечно удаленному наблюдателю (г* пробегает весь путь от г* = R* до г* = — оо за бесконечное время t\ но даже за бесконечное время, за которое г* уходит на —с», г лишь асимптотически приближается кг~ 2 М). Таким образом, при втором описании движения упускается без всякой альтернативы целая область значений г от г = 2M до нуля: идеально хорошая физика, та физика, которую собирается видеть и исследовать падающая частица и которую никогда не увидит и не сможет увидеть удаленный наблюдатель. Если бы черепашья координата не существовала, ее следовало бы выдумать. При рассмотрении этой координаты интересна область вблизи г=2М, т. е. каждый множитель 10, позволяющий к ней приблизиться. Черепашья координата соразмерна с количеством шварцшильдовского координатного времени, имеющегося у удаленного наблюдателя для более и более детального изучения этих более и более микроскопических количеств движения.
На фиг. 25.4 эффективный потенциал V, определяемый формулой (25.33) и уже показанный на фиг. 25.2, представлен как функция черепашьей координаты. Приближение У к нулю при г = 2M носит экспоненциальный характер при стремлении г* к —оо. Поэтому при движении «к черной дыре» (г = 2М, г* = — оо), описываемом в координатном времени t, частица вскоре перестает испытывать сколь-нибудь эффективное влияние любого потенциала и по существу движется свободно к уменьшающимся значениям г* в соответствии с уравнением
*dr*'2 Д2, (25.34)
т.е. «со скоростью света» (dr*/dt « —1). Эта зависимость г* от t одновременно подразумевает асимптотическую зависимость самой координаты г от шварцшильдовского координатного времени t, т. е.
г = 2М + (const X е-'/2М). (25.35)
Результат (25.35) не зависит от момента импульса частицы, а также от ее энергии, если только энергия E (на единицу массы) вполне достаточна для преодоления барьера (фиг. 25.4) эффективного потенциала V (на единицу массы). (Дополнительно о подходе кг = 2M будет говориться в гл. 32, посвященной гравитационному коллапсу.)
Для замены асимптотической формулы (25.35) полной формулой требуется проинтегрировать (25.32):
