Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(%)* + V2 (г) = E2, (25.16а)
где V —«эффективный потенциал», определяемый выражением P (г) = (1-2М/г) (I + LiIra) (25.166)
и проиллюстрированный на фиг. 25.2 и в дополнении 25.6. На первой фигуре в дополнении 25.6 дана зависимость У2 (г) от координаты г; она имеет смысл даже в «области внутри черной дыры* (г< 2М), где V2— отрицательная величина (см. гл. 31). Потенциал V(г) служит моделью и тесно связан с «эффективным потенциалом» 5~а(г), используемым в § 25.6 для анализа фотонных орбит. На третьей фигуре в дополнении 25.6 приведена зависимость самого потенциала F(r) от г. Энергетические уровни на этой фигуре или на фиг. 25.2 можно интерпретировать так же, как на любой обыч-дой схеме энергетических уровней. Разность энергий между двумя уровнями представляет собой измеренную на бесконечности энергию фотона, испущенного при переходе с одного уровня на другой. Откладывать F(r) или F2(г) как функцию г — в значительной степени дело удобства. Важный момент заключается в следующем: значение г, при котором У(г) становится равным имеющейся энергии Е, или F2(г) становится равным E2, является точкой поворота. Частица, которая двигалась к большим значениям г, достигнув точки поворота, разворачивается и начинает двигаться к меньшим значениям г. Или, если частица, двигаясь к меньшим значениям г, подходит к точке поворота, она обращает свое движение и начинает двигаться к большим значениям г. Точка поворота
§ 25.5. Орбиты частиц 329
2
не является равновесной точкой. Брошенный вверх камень в верхней точке полета не находится в равновесии. Однако, когда для E — У(г) или E2 — Уа(г) вместо единственного корня получается двойной корень, тогда мы имеем дело с точкой равновесия (возможной только потому, что «центробежная сила» уравновешивает тяготение). Если это равновесие достигается на минимуме V (г), оно устойчиво, если на максимуме, то такое равновесие неустойчиво. Таким образом, все основные характерные свойства движения в направлении г можно получить, построив эффективный потенциал как функцию г (кривая зависит от величины L) и зная величину E (фиг. 25.2, дальнейшие подробности см. в дополнении 25.6).
Если перейти от качественных характеристик к количественным результатам, то уместно выписать точно собственное время At, необходимое частице для увеличения шварцшильдовской координаты на величину Ar; таким образом (при условии, что квадратный корень может быть отрицательным или положительным,
Y о2 s= ± а) имеем
T= [ dx = [ -S----------------S=---T7-. (25.27)
J J [E2—(I —2Мjr) (1 + /,2/,.2)]1^
Интегрирование особенно просто для случая прямолинейно падающей или прямолинейно вылетающей частицы; тогда момент импульса обращается в нуль и интеграл можно записать в элементарной форме, которая применима (с заменой т -*¦ t) даже в ньютоновской механике:
T= [ dx= (---------d-----Д-. (25.27')
J J [2Mjr—гм/щl/! v
Здесь R =271//(1—E2) — радиус, на котором частица имеет нулевую скорость («апоастр»). Движение следует тому же «циклоидному закону», который так полезен в нерелятивистской механике (фиг. 25.3). Поэтому в параметрической форме имеем
r==T (I + cost]),
Л / л \ Va (25.28)
t==TIw) (П + “ПЧ).
Полное собственное время падения от состояния покоя на г = R в точку г = 0 дается выражением
x-TRimf" (25-29)
(оно в Y 2 раз меньше времени падения под действием притяжения такой же массы, но распределенной по сфере радиусом R, см. пунктирную кривую на фиг. 25.3).
Что можно сказать о шварцшильдовском координатном времени для данного движения? Возьмем уравнение (25.16а) для общего
Рвдвааьвые
орбиты:
1) «цикжоидажъ-ная» форма г (T) для радиальных связанных орбит
330 25. «Яма в потенциален как основное свойство потенциала
-----Время —»-
ФИГ. 25.3.
Зависимость между собственным временем и шварцшильдовской координатой г для пробной частицы, падающей прямо по направлению к центру гравитационного притяжения, имеющему пренебрежимо малые размеры, имеет виД циклоиды. Угол поворота колеса, катящегося по базисной линии и образующего циклоиду, обозначим черев г). В зависимости от параметра т] имеем
(отметим, что масштабные множители в выражениях для гит разные). Полный промежуток собственного времени падения от г = R до г = 0 равен т = (л/2) (Л3/2іІ/)1/2. Xo же циклоидное соотношение и такое же выражение для времени падения справедливо в ньютоновской нерелятивистской теорий тяготения, но там собственное время т должно быть заменено на обычйое время t. Если рассматривается ньютоновская теория для случая той же притягивающей массы М, однородно распределенной по сфере радиусом R, через которую проходит трубка, представляющая собой канал для движущейся пробной частицы, то эта частица будет совершать простий гармонические колебания (пунктирная кривая). Угловая частота этих колебаний со должна быть тождественна угловой частоте обращения пробной частицы по окружности, непосредственно касающейся поверхности планеты, и должна определяться кеплеровским ааконом M = со2Я* В атом случае время падения в центр будет равно (л/2) (R3IM)1/2, т. е. в 2*/я раза больше, чем время падения, когда центр притяжения представляет сосредоточенную массу (в последнем случае имеет место более сильное ускорение и болйе высокая скорость на последних фазах падения). Выражение для шварц-шильдовской координаты времени t, требуемого для достижения любой точки г при падении под действием центра притяжения с сосредоточенной массой, имеет сложный вид и не приведено здесь [см. формулу (25.37) и фиг. 25.5].
