Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Л* =^OKanbH1V = COnst.
(25.22)
Интерпретация E как «энергии на бесконечности и L как «момента импульса»
2
326 25- «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
УПРАЖНЕНИЯ
Он, подобно E = —р0, представляет собой величину, которая сохраняется и интерпретация которой при г -> оо для любой орбиты хорошо известна. Наконец напомним, что полный 4-импульс двух сталкивающихся частиц P1 -j- р2 или (P11)1 + (Рц)» сохраняется в точечном столкновении (при любом г). Поэтому полные (E)1 + (Е)г = (—Po)i + (—Ро)а и (Рф)і+ (Р*)і также сохраняются. Одна из сталкивающихся частиц может находиться на орбите, которая никогда не уходит на г = оо, однако это не имеет значения. Рассмотренный принцип сохранения позволяет и заставляет применять термины, справедливые для орбит, достигающих бесконечности, к орбите, не достигающей бесконечности, а именно: E — «энергия на бесконечности», L— «момент импульса»,
25.7. Радиальная скорость пробной частицы
Подучите формулу для радиальной компоненты скорости v~, которую измерил бы наблюдатель, находящийся в точке г [см. (25.20) ДЛЯ yj]. Выразите -Елокальн, и р j через г и постоянные Е, рф.
25.8. Вращательные векторы Киллянга для шварцшильдовской геометрии
а. Покажите, что в изотропных координатах (упражнение 23.1) метрика для шварцшильдовской геометрии принимает вид -
Iisi=-(I — M/2r)2 (I + Mliry2 dtz +
+ (l + M/2r)4(dr2 + r2dQ). (25.23)
б. Найдите координатное преобразование, приводящее эту метрику к виду
ds2 = — (1 — M/2?)2 (I + M/2r)~2 dt2 +
+ (l + M/2r)i(dj? + dy2 + dz2), (25.24)
где г = (x2 + y2 + z2)1/2.
в. Покажите, что вектор |я = y{d/dz) — z (діду) и векторы \у и I2 являются векторами Киллинга, для этого проверьте (см. упражнение 25.5, п. «в»), равны ли нулю скобки Пуассона [М, LK\ для каждого Lk = р-|к, где К = х, у, ъ.
г. Покажите, что \г = (d/d<f>)ti г, 0 и что для [орбит в [экваториальной плоскости Lz = рф, Lx = Lv = 0.
25.9. Сохранение полного момента импульса пробной частицы
Докажите путем вычисления скобок Пуассона, что квадрат полного момента импульса L2 = pi + (sin0)-2p+2 есть интеграл движения для любой шварцшильдовской геодезической.
25.4. Гравитационное красное смещение 327
2
25.10. Выбор уравнения посредством выбора варьируемой величины
Выпишите интеграл I, который варьируется в (25.8), для специального случая шварцшильдовской метрики (25.12). Какое уравнение вытекает из требования 6/ = 0, если варьируется только ф (А,) или если варьируется только t (к)?
25.11. Вывод интегралов движения ив суПергамильтониана
Выпишите супергамильтониан (25.10) для специального случая шварцшильдовской метрики. Получите из этой формы, что р0 и рф — интегралы движения. Выведите из этого супергамильтоне-ва формализма уравнения (25.14), (25.17) и (25.18).
§ 25.4. ГРАВИТАЦИОННОЕ КРАСНОЕ СМЕЩЕНИЕ
Закон сохранения | ^00 I1/2 En
= const (выражение 25.21),
справедливый в этой ,форме для любой не зависящей от времени метрики с g0j = 0 и для частиц как с нулевой, так и с ненулевой массой покоя, иногда называется «законом красного смещенйя энергии». Он описывает, как изменяется локально измеренная энергия любой частицы или фотона (смещена в «красную» или в «голубую» сторону), если частица (йлй фотон) вьііоДйт из стйїй-ческого гравитационного поля или входит в него. Для частйцы с нулевой массой покоя (фотон или нейтрино) локально измеренная энергия -Sn0KBльн и длина волны А.пональн (не путать с аффинным параметром!) связаны соотношением
Bn
I
h/K
Z ж M/г в ньютоновском пределе.]
Заков «красного смещения энергия» («гравитационное
где h — постоянная Планка. Следовательно, закон красного смещения энергии можно переписать в вйДе
Ткальні Seo r1/s = Const. (25.25)
Фотон, испущенный атомом, покоящимся в гравитационном поле на радиусе г, и принятый астрономом, покоящимся на бесконечности, смещен в красную сторону на величину
Z = ДАД = (А-прна — *мм)/Ь«« = |Л»(г)1 1г—
Z = (I — 2М Ir)-11*-1,
[25.26)
(25.26Н)
Заметим, что эти выражения справедливы независимо от того, движется ли фотон вдоль радиальной геодезической или нет.
враеі
»)
2
328 25. шЯма в потенциале» как основное свойство потенциала
УПРАЖНЕНИЕ
Качественные свойства орбвт, подученные ¦а кривой яш аффективного потенциал»
25.12. Вывод выражения для красного смещения с помощью разделенных во времени импульсов
Выведите выражение (25.26) для красного смещения фотона; рассматривая два импульса света, последовательно испущенные атомом, покоящимся на радиусе г. [Указание: Если Дтизл — собственное время между импульсами, измеренное испускающим атомом, a ATnpira — собственное время между импульсами, измеренное наблюдателем на г = оо, тогда можно идеализированно рассматривать Xbsji как Атизл и ^прин как Атприн.]
§ 25.5. ОРБИТЫ ЧАСТИЦ
Обратимся теперь от красного смещения энергии к рассмотрению орбиты частицы и шварцпшльдовской геометрии. Положение как функцию собственного времени можно получить, решив уравнение
