Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Где бы ни лежала пробная частица и как бы быстро она ни двигалась, спроектируем эту точку и эту 3-скорость радиально на сферу некоторого фиксированного радиуса г, скажем на единичную сферу г = 1. Тогда точка и вектор определяют совместно точку и вектор на поверхности единичной сферы, а они в свою очередь указывают начало и определяют весь большой круг. По мере движения частицы радиальная проекция ее положения будет оставаться на этом большом круге. Отклонение от большого круга а ту или иную сторону означало бы в противоречии с симметрией ситуации, что одна полусфера единичной сферы предпочтительнее другой.
Ориентируем полярную систему координат так, чтобы радиальная проекция орбиты совпала с экватором 0 = я/2 [о сферической тригонометрии более общей ориентации орбиты и последующем сведении ее к полярной орбите (в противоположность рассматриваемой здесь экваториальной орбите) см. дополнение 25.4]. В ориентированной таким образом полярной системе координат частица
Почему мы сосредоточиваем внимание на рассмотрении орбит частиц вокруг черной; Дыры
Выбор координат, при котором’орбж-та частицы лежит на «экваторе»
0 = л/2
21*
2
324 25. «Яма в потенциален как основное свойство потенциала
Величины, сохраняющиеся прі движении частицы:
I) E *) L
4) E S Е/д
5) L = L/Ц
Эффективный потенциал V п уравнение орбиты
¦ри ц =P О
имеет сначала и продолжает иметь нулевой импульс в 0-направле-нии
p0 = dB/dX = 0.
Выражение (25.12) для линейного элемента показывает, что геометрия не изменяется при трансляциях t-*-t At, ф ф-f Аф. Поэтому координаты t я ф являются «циклическими» и сопряженные импульсы P0 и рф a±L (L ^ 0) сохраняются. Это
обстоятельство позволяет немедленно вывести главные особенности движения следующим образом.
Величина 4-вектора энергии-импульса определяется массой покоя частицы
?арр“рэ + Ц2 = ^apPoPp + H2 = O1 (25.13)
или
(1 — 2ЛТ/Г) (1 — 2ЛГ/Г) (ir) +ТГ+^2 = 0' (25.14)
Кроме того, как известно из принципа эквивалентности, пробная частица независимо от ее массы следует одной и той же мировой линии. Поэтому для описания движения частицы важны не сами энергия и момент импульса, а отношения
E = EIyi = (энергия на единицу массы покоя), ?2515) L = L/\i = (момент импульса на единицу массы покоя).
Напомним также, что
X = т/[х = (собственное время на единицу массы покоя).
Тогда (25.14) принимает вид уравнения для координаты г как функции собственного времени, причем в это уравнение не входит масса покоя:
)2 = Ei — (1 — 2M/г) (I + LzIr2) = Ez-V2 (г). (25.16а)
Здесь
у (г) = [(1 - 2Міг) (1 + L2Ir2)]1'* (25.166)
— «эффективный потенциал», упомянутый в § 25.1 и на фиг. 25.2; он будет обсуждаться в § 25.5. Уравнения для двух других относящихся к делу координат как функций собственного времени в случае «прямой» орбиты (dfy/dx > 0; рф = L, а не —L) имеют вид
іф _ 1 йф_____р* _L_
dx |i А ц ц г2
И
dt 1 р° g00E E
й ці). |i ц (1—2М/г)
(25.17)
(25.18)
§ 25.3. Сохраняющиеся величины при движении в іиварціиильд. геометрии 325
2
Определив из уравнения (25.16а) г как функцию т, найдем из уравнений (25.17) и (25.18) ф и t как функции т. Фактически соображения симметрии сводят четыре связанных дифференциальных уравнения второго порядка pu; vpv = 0 для движения по геодезическим к одному уравнению первого порядка (25.16а).
Для объектов с нулевой массой покоя обращаться к собственному времени не имеет смысла; для них уместно несколько иное рассмотрение (§ 25.6).
Прежде чем рассматривать движения, описываемые уравнениями (25.16) — (25.18) (это сделано в § 25.5), полезно проанализировать физический смысл постоянных P0 и рф и познакомиться с другими физически важными величинами, представляющими интерес при изучении этих орбит. Назовем E = — р0 «энергией на бесконечности», a L = \рф\ для экваториальных орбит —«полным моментом импульса». Чтобы оправдать эти названия, сравним их со стандартными величинами, измеряемыми наблюдателем, покоящимся на экваторе шварцшильдовской системы координат, при пролете мимо него пробной частицы, движущейся на орбите. Пусть
¦Елональн = р 0 = (CO 0 , р)=(| gQQ ] '2 lit, р) =
= I goo I1'* P0 = Uoo |1/г dt/dk =(1- 2 Mlrfli dt/dX (25.19)
— энергия, которую измеряет наблюдатель в собственной системе отсчета, и пусть
„9 /«.* „\ (1ефф11/2г1ф, d/dk)
«в”, Р>
P 0 Ea
r^/dk)
Eli
Рф
г E1,
(25.20)
-^локальн ' ^локальн
— измеряемая им тангенциальная компонента обычной скорости.
[Замечание: о>“ — базисные 1-формы собственной системы отсчета наблюдателя, см. формулы (23.15а) и (23.156).] Энергия на бесконечности, выраженная через эти локально измеренные величины, имеет вид
E= —Pa= —gooP0 =
і goo I ^локальн :
= (I — 2M/r)1/a E
локальн
— const.
(25.21)
Она, следовательно, представляет собой локально измеренную умноженную на | goo 11/а- Для любой частицы,
энергию Ea
которая свободно улетает (движение по геодезической) от этого наблюдателя на г = оо, поправочный множитель сводится к единице и энергия Л?л0кальн (измеренная вторым наблюдателем, находящимся в этот момент на бесконечности) становится тождественно равной Е. Аналогично, момент импульса, входящий в (25.20), равен
