Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, коммутатор двух векторов Киллинга сам есть вектор Киллинга.
25.6. Проблема собственных значений для векторов Киллинга
Покажите, что любой вектор Киллинга удовлетворяет соотношению Iі*; к = 0 и является собственным вектором уравнения
il‘:V;v+*MV=*!“ (25.11)
с собственным значением х = 0. Найдите вариационный принцип (типа Релея — Ритца) для этого уравнения на собственные значения.
Дополнение 25.5. ВЕКТОРЫ КИЛЛИНГА И ИЗОМЕТРИИ1)
A. На данном многообразии (например, в пространстве-времени или на торе, изображенном справа) в данной системе координат компоненты метрики не зависят от определенной координаты хк:
ds2 =г Ь8 dB2 + (а — b cos 0)* <1фг\
Irliv не зависят от хк = ф.
Б. Совершим параллельный перенос произвольной кривой $ на бесконечно малую велйчину
е| з= е (д/д:г*) = е (д/дф), е < 1,
и получим новую кривую Кривая $ определяется координатами 0 = 0 (X), ф = Ф (X), а кривая %’ — координатами 0 = 0 (X), ф =
= ф (X) е. (Параллельный перенос всех точек на Дф = е.) Поскольку BgiivIdj) = 0, кривые % и имеют одинаковую длину (см. текст).
B. Возьмем набор соседних точек Jt, SS, $, 3 и сместим каждую из них на е|, тогда получим
*) Проиллюстрированы на торе.
21-01508
2
322 25. tЯм,а в потенциале» как основное свойство потенциала
точки Jt', , 4S', 3)’. Поскольку при атом
смещении дцина каждой кривой сохраняется, то расстояния между соседними точками т&кдеэ сохраняются
(расстояние между А' и 9$') = = (расстояние между Jt и І?).
--------------Цр геометрия эквивалентна таблице всех бесконечно малых расстояний (дополнение 13.1), Поэтому геометрия многообразия остается полностью неизменной при-смещении всех точек на е|. (Это координатная форма утверждения dguvld<f>^. = 0.) Говорят, что I = дIdtjt есть генератор «изометрии» (или «группы движений») на многообразии.
Г. В общем случае (см. текст) векторное поле | (&Р) генерирует изометрию тогд» и только тогда, когда оно удовлетворяет уравнению Киллинга ^a- ^ = 0.
Три различные траектории на торе. „ „
Д. ьсли векторное поле § (а/5) генерирует изометрию (т. е. \ есть «вектор Киллинга»), тогда кривые
к которым вектор I касателен \\ = {дЗ* IdxK)ai ctnI, называются «траекториями изометрии».
Е. Геометрия инвариантна, таким образом, при смещении всех точек многообразия на одинаковую величину Axk вдоль этих тракторий [е?4 (хк, O1, ..., а„) -*¦ SP {хк + Ахк, at, ...,а„); построение «конечного движения» из множества «бесконечно малых движений» е|].
Ж. В физических терминах эта изометрия описывается следующим образом. Разместим по всему многообразию семейство наблюдателей. Каждый наблюдателе сообщает центральному компьютеру 1) о всех аспектах геометрии многообразия вблизи него и 2) расстояниях и направлениях всех соседних наблюдателей (относительно «предпочтительных» направлений, которые определяются анизотропией локальной геометрии). Через положение каждого наблюдателя проходит единственная траектория изометрии. Сдвиг каждого наблюдателя на одинаковое фиксированное Axk (наприадер, Axk — 17) вдоль этой траектории не изменяет самого многообразия. Каждый наблюдатель тогда сообщает центральному компьютеру ту же самую геометрическую информацию, которая была до сдвига. Поскольку информация, получаемая компьютером после сдвига, тождественна информации до сдвига, то никакими геометрическими измерениями невозможно обнаружить, что происходило, движение! В этом значение изометрии.
параметр
кривой
индексы, указывающие, «какая» кривая
хК = ф — параметр траекторий.
§ 25.3. Сохраняющиеся величины при движении в шварцшильд. геометрии 323
2
§ 25.3. СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
ПРИ ДВИЖЕНИИ В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Рассмотрим пробную частицу, движущуюся в шварцшильдовской геометрии, которая описывается линейным элементом
ds>= - (1 - 2М/г) dt2 + у-_?2М1г) + г2 (deZ + sin*9dW- (25-12)
Это выражение для геометрии применимо вне любого сферически-симметричного центра притяжения, обладающего полной массой-энергией М. Для движения частицы снаружи не имеет значения, какова геометрия внутри звезды, поскольку частица никогда не попадет туда; прежде чем она сможет это сделать, частица столкнется с поверхностью звезды, если центром притяжения является звезда, т. е. жидкая масса, находящаяся в гидростатическом равновесии. В каждой точке такой равновесной конфигурации шварцшильдовская координата г превышает локальное значение ведичины 2т(г)\ см. § 23.8. Поэтому шварцшильдовская координата поверхности R превышает 2М. Следовательно, выражение (25.12) применимо вне любой равновесной конфигурации независимо от того, насколько она компактна (неравенство г > R > 2M подразумевает, что нет нужды рассматривать вопрос о «сингулярности» при г = 2М). Однако чем более компактна конфигурация, тем большую часть шварцшильдовской геометрии может исследовать пробная частица. Идеальным пределом является не звезда в гидростатическом равновесии, а звезда, подвергшаяся полному гравитационному коллапсу и превратившаяся в черную дыру. В таком случае выражение (25.12) применимо при радиусах г, сколь угодно близких кг = 2М. Такая идеализация и предполагается здесь («черная дыра»), поскольку в этом случае анализ может охватить максимальную область возможных ситуаций.
