Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, ковариантная производная этого векторного поля имеет компоненты
би; V = &*«&% = g** (^Г+ IevoS0) =
__ pa _______ P ____ I t dg)iK ) dguv__\_______
-gv. a I vK - 2 [ gxV -+- дхк dxy, )
—"2~(g\iK,v — g\K. ii)- (25.4)
г) К истории вопроса. Вильгельм К. Дж. Киллинг родился 10 мая 1847 г. в Барбахе, Вестфалия, умер 11 февраля 1923 г. в Мюнстере, Вестфалия; профессор математики в Мюнстерском университете в период 1892—1920 гг. Ключевая статья, согласно которой рассматриваемый здесь тип изометрин носит название «вектор Киллинга», появилась почти век назад [323].
§¦ 25.2. Симметрии и закона сохранения '319
2
Откуда видно, что компонента ^li lv антисимметрична по индексам р. р V, как это утверждается в уравнении Киллинга (25.3).
Геометрическое значение , вектора Киллинга разъясняется и дополнении 25.5.
Из уравнения Киллинга ?(ц ;V) = 0 и уравнения геодезических Vpp = О для касательного вектора р = d/dk к любой геодезической следует важная теорема: В любой геометрии, обладающей симметрией, описываемой векторным полем Киллинга при движении по любой геодезической скалярное произведение касательного вектора на вектор Киллинга остается постоянным:
Pk = р* I = const. (25.5)
Для проверки этого результата вычислим скорость изменения постоянной рк по ходу типичной геодезической (аффинный параметр Я; результат поэтому применим как к световым лучам с нулевым промежутком собственного времени, так и к частицам):
dpK/dX = (P^lJivPv = (PlxIivPv) + P(|iPv))?[n; v] = 0. (25.6)
Возвратимся от общей системы координат к координатам (25.1), в которых векторное поле Киллинга, описывающее симметрию геометрии, можно записать в виде | = д/дхк. Тогда для скалярного произведения (25.5) имеем const = рв?“ = раЬак — Рк-Симметрия геометрии гарантирует сохранение К-й ковариантной компоненты импульса, вычисленной в координатном базисе.
На времениподобной геодезической пространства-времени импульс пробной частицы массы (х имеет вид
р =zd/dk = [XU = \idldr. (25.7)
Таким образом, когда рассматривается частица, аффинный параметр к, самым полезным образом использовавшийся в вышеприведенном анализе, правильнее считать равным не собственному времени т, а отношению т/\і.
Если метрика не зависит от координаты хк, то эта координата, согласно терминологии, заимствованной из нерелятивистской механики, называется циклической, а соответствующая сохраняющаяся величина рк —«импульсом, сопряженным этой циклической координате».
25.1. Интеграл движения, получаемый из принципа Гамильтона
Докажите сформулированную выше теорему о сохранении рк э E= р-|, воспользовавшись принципом Гамильтона (дополнение 13.3):
5 j Y guv ix) (dx4dk) (dxv/dk) dk = 0 (25.8)
Сохранение p ¦ ? при движении f* по геодеанческоСі
Терминология: «циклическая координата» , «сопряженный импульс»
УПРАЖНЕНИЯ
2
320 25. *Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
УПРАЖНЕНИЯ
применительно к геодезическим траекториям. Напомним, что в принципе действия компоненты метрики должны рассматриваться как известные функции положения х вдоль траектории,
а сама траектория х* (К) должна варьироваться.
25.2. Супергамильтонов формализм для движения по геодезическим
Покажите, что набор дифференциальных уравнений в гамильтоновой форме является результатом независимого варьирования рц и ж14 в вариационном принципе б/ = 0, где
I = j (p^dx^ — SSdk), (25.9)
а
SS=-±-g»\x)Pilpv. (25.10)
Покажите, что «супергамильтониан» SS является интегралом движения, а решения этих уравнений — геодезическим. Что означает выбор SS = + -|-, <$? = 0, SS = — Y (а2 или SS = — — для геодезических и их параметризации?
25.3. Векторы Киллинга в плоском пространстве-времени
Найдите 10 линейно независимых векторов Киллинга в плоском пространстве-времени Минковского. (Ограничьтесь рассмотрением линейных соотношений с постоянными коэффициентами.)
25.4. Скобка Пуассона — ключ к интегралам движения
Если I — вектор Киллинга, то покажите, что рк S= ^pll коммутирует (имеет равную нулю скобку Пуассона) с гамильтонианом SS предыдущей задачи, т. е. [SS, Pr) = 0, поэтому dpK/dX = 0. (Указание'. Воспользуйтесь подходящей системой координат.)
25.5. Коммутатор векторов Киллинга есть вектор Киллинга
Рассмотрите два вектора Киллинга % и т), которые не коммутируют [как дифференциальные операторы, т. е. коммутатор уравнений (8.13) не обращается в нуль; конкретно рассмотрите вращения относительно перпендикулярных направлений]:
[|, T1I Sg =^0.
а. Покажите, что нельзя одновременно приспособить одну сис тему координат, например (25.1), к обоим симметриям ? и rj (см упражнение 9.9).
§ 25.2. Симметрии и законы сохранения 321
б. Пусть Pi = PwS11, Рц = PwIltl и Р; = PllIu, выведите ДЛЯ УПРАЖНЕНИЯ скобки Пуассона fp$, P4J соотношение [/?, р„) = —р;. Покажите,
что в геометрии, симметрии которой связаны таким обравом, импульс Pi является интегралом движения.
в. В системе координат, в которой ? = (д/дхк), определите SS, как в (25.10), и покажите, что так как [<#?, р;] = 0, то ? — вектор Киллинга.
