Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
316 25• *Яжа в потенциале* как основное свойство потенциала
Здесь и —так называемая «средняя аномалия эксцентриситета» (временной параметр Бесселя). Для ряда величин, выраженных через н, имеем также
SlO
COSU
cos в
(I — е2)1'* sin 0 . ц= 1+Тсоаб ?
cos 0+« 1+«совв ’ COS и — е 1 — е COS It ’
sin 8 = (1 ~ 8ІП и ;
1-е COS It ’
x = r cos 0 = —(cos и — е); (20)
(-2Е) 4 '
7
y = rsin0=-------Z=-T7- sin и. (21)
* (-2Е)Х/* 7
Эти формулы удобны для фурье-анализа в гармонических функциях времени с коэффициентами в виде стандартных функций Бесселя:
Я
Jn (Z) = JL І еЧгвти-пи)^. (22)
-Я
+ 00
х/а = —§"e + 2 *-1^ft-i(^) cos (23)
A=S-OO
кфО + 00
у/а = ( 1-е2)1/» V (ке) sin fmt (24)
А= — оо кф О
(об этих и других формулах того же типа см., например, [320 —322]). Благодаря фурье-анализу мы теперь в состоянии вычислить интенсивность гравитационного излучения, испускаемого на основной круговой частоте со и на обертонных частотах (см. гл. 36).
Геометрическая теория тяготения Эйнштейна
Соотношение между энергией и импульсом пробной частицы с массой покоя (1, движущейся в искривленном пространстве, имеет вид
gaSiPaP 0 + И8 = 0. (25)
Тяготение проявляется только в кривизне геометрии, в которой частица движется свободно, т. е. на нее не действует «реальная» сила. Отнесем все величины к единичной массе покоя пробного объекта, считая, что везде р = р/р.. Запишем также ра = dS/d:г®. В таком случае уравнение Гамильтона — Якоби, описывающее распространение волновых гребней
§ 25.2. Симметрии и законы сохранения 317
2
в шварцшильдовской геометрии (внешнее поле звезды; § 23.6), принимает вид
(1 — 2 M/г)
(26)
Решим уравнение Гамильтона — Якоби, упрощая вычисление, как и в ньютоновской задаче, путем исключения всякого движения в направлении роста ф. Поэтому, полагая 0 = р+ = дБІдф (динамическая фаза не зависит от ф), получаем
Г
S = - Et + LQ + j [jg* - (I - 2M/r) (I + Z’/r2)]l/2 SmIrJ' (27)
Форма орбиты находится с помощью «принципа усиливающей интерференции»; таким образом, имеем
О = -С = 0-(-^---------------LdT/rZ д--------п— (28)
дL J [Е% — (1 — 2М/г) (1 -г LPtIт^у
[см. уравнение (25.41) и связанное с ним обсуждение в тексте, а также фиг. 25.6]. Время достижения данного г находится путем рассмотрения «интерференции волновых гребней», принадлежащих волнам со слабо различающимися значениями Е:
Q __ dS_______^ і Г ________________E___________________dr (291
дЕ J [А’2 — (і — 2ЛГ/г) (1 + 2>/г2)]1/2 (1 — 2М/г) *
[Cm. уравнение (25.32) и связанное с ним обсуждение в тексте, а также фиг. 25.5 и упражнение 25.15.]
§ 25.2. СИММЕТРИИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
Б аналитической механике известно, что симметрии лагранжиана или гамильтониана приводят к законам сохранения. В упражнениях 25.1—25.4 описано, как эти общие принципы используются для вывода из симметрий шварцшильдовского пространства-времени интегралов движения для траекторий (геодезических) свободно падающих частиц во внешнем гравитационном поле звезды. Te же самые интегралы движения получаются на другом языке в дифференциальной геометрии, где стандартным средством описания симметрии является «вектор Киллинга». Прежде чем перейти к шварцшильдовскому пространству-времени, рассмотрим в этом параграфе общие вопросы метрических симметрий.
Пусть компоненты метрики ^liv относительно некоторого координатного базиса d ха не зависят от одной из координат хк, так что
BgilJdzfk = 0 для а = К. (25.1)
Это соотношение обладает геометрической интерпретацией. Любую кривую г® = с“ (X) можно сместить путем координатного сдвига
От симметрия к законам сохранения:
1) лагранжев или гамильтонов подход
2) метод
вектора Кшшяга
2
318' 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
Определение вектора thir Кнаишгв g
Вывод уравнения Кииинга
Axk - в в направлении Xk и образовать «конгруэнтную» ; (эквивалентную) кривую:
га — с(Х) для а ф К и Xk = ск (X) + е.
Пусть параметр X на первоначальной кривой пробегает значения от Я = X1 до Я = X2 и длина кривой равна U
L= j [?,*„ (х (X)) (dx^/dX) (dxvjdk)\1/t dX.
Xi
Тогда смещенная кривая имеет длину
U д t
L (е) = j [ {gliv (X (X)) + е-?рг} (d^/dX) (dx*/dX)]‘Л dX. и
Ho коэффициент e в подынтегральном выражении равен нулю. Следовательно, длина новой кривой тождественна длине первоначальной кривой: dL/de =0.
Вектор
I s d/de = (дідх?) (25.2)
описывает эти бе' конечно малые «трансляции», сохраняющие длину. Он называется «вектором Киллинга» и удовлетворяет уравнению Киллинга 1J
?uj!v + ?v: її = 0 (25.3)
(необходимое и достаточное условие, налагаемое на векторное поле гарантирующее сохранение всех длин при смещении е|). Уравнение (25.3) выражено в ковариантной форме. Поэтому достаточно установить его в избранной системе координат (25.1), чтобы оно было справедливо в любой системе координат. В избранной системе координат векторное поле, согласно (25.2), имеет компоненты
Iti = 6 V
