Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
1) со слабо различающимися значениями E [наложите «условие усиливающей интерференции» dS~^ ? g- (t, г, 0, ф)1дЕ = 0] указывает, когда частица
достигнет данной точки г (т. е. дает соотношение между t и г);
2) со слабо различающимися значениями «параметра полного момента импульса на единицу массы» L [наложите условие усиливающей интерференции dS~ ? g- (t, г, 0, ф)/дЬ = 0] дает соотношение между 0 и г (основная
характеристика формы орбиты);
3) со слабо различающимися значениями «параметра азимутального момента импульса на единицу массы» р$ (наложите условие дБ/дрф = 0) дает соотношение между 0 и ф:
о.. aS г Срф/Ц dQ
dp^ J sin 0 (sin2 9—^ф2//-2)1^2
Плоский характер орбиты.
Можно ли разобраться в последнем интеграле с помощью таблиц интегралов? Быстрее и яснее уловить содержание без вычисления: частица движется в плоскости. Вектор, отвечающий моменту импульса L, перпендикулярен этой плоскости. Проекция момента импульса на ось z равна рф — L cos а (определение орбитального наклонения а). Прямая линия, связывающая начало с частицей, пересекает единичную сферу в точке iP. С течением времени точка 3і прочерчивает большой круг на единичной сфере. Плоскость этого большого круга разрезает экваториальную плоскость по «линии узлов», на которой как бы «подвешены» две плоскости с двухгранным углом а между ними. В декартовой системе координат, в которой у изменяется вдоль линии узлов, а х лежит в плоскости орбиты, орбита точки Si описывается соотношениями х = г cosij), у = г sin \|j, z = 0. В системе координат, в которой у изменяется вдоль линии узлов, а х лежит в плоскости экватора, имеем
г cos Q = z = z cos а + х sin а = г cos г|э sin а, г sin 0 cos ф = х= — ъ sin а + х cosa «=» r cos т|з cos а, г sin 0 sin ф = у = у = г sin т|з.
2
314 2S. «Яма $ потенциале», как основне* свойство потенциала
Исключив декартовы координаты, а также (взяв отношения) г, находим уравнение траектории точки # в параметрической форме
Проверяем, что угол ф, вычисленный из формулы (5), дает интеграл (4), таким образом в точности подтверждая соотношение между 0 и ф. Кроме того, произвольная постоянная интегрирования, получающаяся из соотношения (4) и опущенная для простоты в (5), легко учитывается там заменой ф на ф — (поворот линии узлов на новый азимут). Физика, возникающая при рассмотрении соотношения между 0 и ф, связана, очевидно, с элементарной пространственной геометрией и больше ни с чем. Te же геометрические соотношения появляются без каких бы то ни было релятивистских поправок (как могло бы там что-нибудь появиться?!) для движения в шварцшильдовской геометрии. Следовательно, здесь и далее уместно опустить эти усложнения. Пусть частица движется только в направлении увеличивающегося значения 0 и вовсе не движется в направлении увеличивающегося значения ф, т. е. пусть она движется по орбите с нулевым моментом импульса рф (полный момент импульса L составляет с осью г угол а = я/2). Таким образом, динамическая фаза S (если переходить от классической механики к квантовой, то ее следует поделить на Н, чтобы получить фазу шредингеровской волновой функции) принимает вид
Здесь увеличивающиеся значения г|> соответствуют последовательным точкам на большом круге. Исключая і|> с помощью соотношения
или, более кратко,
sec ф = tg a tg 0.
(5)
Г
(6)
¦Форма орбиты дается выражением
г
откуда
LVM
(8)
l-4-ecos9
Здесь е — эксцентриситет орбиты
e = (l+2EL2IM2)l,t
(9)
§ 25.1. От ааконов Кеплера к аффективному потенциалу 315
2
(е больше 1 для положительных Е, гиперболическая орбита; е равно 1 для 2? = О, параболическая орбита; е меньше 1 для отрицательных Е, эллиптическая орбита). Постоянная интегрирования в (8) для простоты опущена. Ее можно учесть, заменив 6 на 0— 0* (поворот направления главной оси в плоскости орбиты). Другие характеристики орбиты
/большая полуось\ 1г м
[эллиптическои A = Tzbr= , o-gT» (10>
чорбиты J \—2Е)
^малая полуось^ %г г
эллиптическои I Ь =---------- ~; (И)
Чорбиты ) d-«2)/2 (-2 *)*'• V
/ «прицельный параметр» \
I для гиперболической \ момент импульса на единицу массы
I орбиты или «расстояние I о =------------- ------------ —
\ ближайшего подхода» в I линейный импульс на единицу массы
\отсутствие отклонения /
—TCT <12>
(2 Е)
/истинное расстояние' _________L2>M________.
\ближайшего подхода/ “ин (i+2EL2/Af2)l,i+1 '
/угол отклонения \ _ _
I для гиперболической I 9 = я —2 arc cos (1/е) = 2агс tg [М/(2Ё)1/г Zji = Чорбиты /
= 2 arc tg [М/2ЁЬ]; (14)
^дифференциальное ^
1 эффективное сечение I -JrT= о —--------- (Резерфорд). (15)
Храссеяния / dQ 2язшЄ<ів (4? sin2 е/2)2 v рм;
Связь времени с положением находится из соотношения
0=Ж-= —t+ [ -----------—----^---J7. (16)
J [2(г+^_-.)]'¦
Для упрощения интегрирования запишем
M
(-2Ё)
(1-е cos и). (17)
Получим
/средняя [круговая\ _ 2я ц _ (—2Е)3/г _ / M \У» . .д
V частота / (период) M \ «з / ' '
M
*= (,2g)»/2 (“~gSin“)> (18>
