Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Из-за этой размазки приходится вводить так называемое полуклассическое приближение или приближение Вентцеля — Крамерса — Бриллюэна («ВКБ», см., например, [319]) для функции амплитуды вероятности
Ф* (*, 0 = (fдленно меняющаяся) ет)8&.*) (1)
’ ' V функция амплитуды / * ' '
5. He помогает локализации распределения вероятности и очень малая величина постоянной ft = 1,054-10-27 г-см2/с [или Й = (1,6-IO-33 см)2 в геометрических единицах] по сравнению с «величиной действия» или «величиной функции Гамильтона — Якоби 5» или «динамической фазой 5», с которыми сталкиваются в большинстве повседневных приложений.
6. He помогает локализации распределения вероятности и то, что динамическая фаза подчиняется простому закону распространения Гамильтона — Якоби
7. He помогает локализации распределения вероятности то, что решение этого уравнения для частицы с энергией E необычно просто
X
S (X, t)= -Et+ j {2m[E-V(x)]}1,2dx + 6E (3)
3?
§•25.1, От законов Кеплера к-эффективному потенциалу 311'
2
(6Е произвольная аддитивная фазовая постоянная). Амплитуда вероятности ,все еще остается размазанной.по всему пространству. Нет и малейшего следа чего-нибудь подобного локализованной мировой линии .х *= х Щ.
S. Для локализации чаотицьи построим амплитудно-вероятностный волновой пакет путем суперпозиции моночаетотных (моноэнергетических) членов согласно рецепту, заданному в виде
¦ф (х, f) = (*, t) + 1|>Ё+ДЕ (і, І) + . . - • (4)
— 6
а — моноэнергетическая волна;
б — волновой пакет, полученный в результате наложения моноэнергетических волн.
Почти; везде имеет место гасящая интерференция. Волновой пакет концентрируется в облаети усиливающей интерференции, где фазы различных волн согласованы: поэтому
Se {ху 0 — ^e+ae (г* ?)• (5)
Наконец, мы продвинулись от волны, размазанной по всему пространству, к локализованной волне
и, следовательно, в пределе бесконечно малой длины волны, к классической мировой линии. Это одно уравнение усиливающей интерференции связывает между собой х и t (геометрическое место точек, соответствующих мировой линии на графике х, t). Сплошные линии с цифрами —20, —19, —18 и т. д.
— волновые гребни пунктирные линии — волновые гребни Ч'е-ьде- Затемнена область усиливающей интерференции (волновой пакет). Черные точки отмечают ' положение классической мировой линии
j-^е+\еІх< 0—0
*а
^/Ill
'/Ш/
ДЕ<-»0
\Е
0.
2
312 25. *Яма в потенциале* как основное свойство потенциала
9. Если перейти к классическому пределу (постоянная H пренебрежимо мала по сравнению с рассматриваемыми величинами действия; следовательно, пренебрежимо мала длина волны, а значит, пренебрежимо мал также разброс энергий AE, что необходимо для построения полностью локализованного волнового пакета), то из условия усиливающей интерференции немедленно получаем ньютоновскую мировую линию в пространстве-времени, т. е.
^Е+&е(х' (*1 0 р
Ш
сводится к условию
SSs (х, <) п
дЕ
Будучи примененным к выражению (3), это условие в свою очередь дает время, необходимое для движения ДО ТОЧКИ X:
X
— і “Ь Ї----------------JTT—{— #0 = 0,
J {(2/m) [?-7(*)]}1'*
“о
где J0—сокращенное обозначение величины
to = dbjr/dE
(«производная от базисной величины динамической фазы по энергии»).
10. В этом окончательном ньютоновском результате не содержится никакого следа от квантового действия по простой причине: постоянная H и длина волны считались пренебрежимо малыми. В этом пределе положение волнового «пакета» совпадает с положением гребня волны. Положение волнового гребня —это именно то, что определяется функцией Se (х, t), а условие «усиливающей интерференции» dSE (x,t)/dE = 0 без всякого приближения дает положение четко определенной ньютоновской мировой ЛИНИИ X = X (t).
11. Уместно ли такое рассмотрение движения в поле центральной силы? Это самый быстрый из известных путей к понятию эффективного потенциала (дополнение 25.4).
Дополнение 25.4. АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ГРАВИТАЦИОННОГО ПРИТЯЖЕНИЯ ЦЕНТРАЛЬНОЙ МАССЫ,
ПРОВЕДЕННЫЙ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ
А. Ньютоновская теория тяготения Гамильтониан
г} Prz і Pe2 і рФ2 M
п~ 2 2г2 "Г 2r2sin29 г КЧ
(здесь и далее величины Е,р и т. д., отмеченные тильдой, относятся к пробному объекту единичной массы; пробная частица массы ц совершает то же
движение с энергией E — \ЇЕ, импульсом р = (ip и т. д.).
§ 25J. От ааконов Кеплера к аффективному потенциалу 313
2
Уравнение Гамильтона —Якоби, описывающее распространение волновых гребней:.
3S _ I / dS . I / as ч2 I / as \2 M .оу
dt ~ 2 \ дт } ‘ 2г2 \ ее / ' 2r2sin29 \ дф ) _г ’ '
Решается «методом разделения переменных» при условии, что |Лд2е== ± а:
s_-a+?^+J (r*-^)v,*+| [2 (*+-?--^-)],л*+в-,гіг.
(3)
(Проверяется путем подстановки в уравнение Гамильтона — Якоби. Решение в виде суммы четырех членов, отвечающих четырем независимым переменным, соответствует выражению для амплитуды вероятности в квантовой механике в виде произведения четырех множителей, поскольку iS/h = i\lS/h стоит в экспоненте приближенного выражения для амплитуды вероятности.) Усиливающая интерференция волн
