Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
!20-01508
ФИГ. 25.2. u
Эффективный потенциал, в котором движется пробная частица в шварцшильдовской геометрии с сосредоточенной .массой М. Энергия частицы в единицах ее массы покоя [t обозначена E = El |i, момент импульса L = Li р. Величина г— шварцшильдовская координата. Эффективный потенциал (также в единицах ц) определяется уравнением (25.16а), или, эквивалентно,
уравнением +V2 (г) = E2 (см. также § 25.5) и имеет величину V=[(l—2M/r) (l-)-Lz/r2)]1/2.
Он представляет сооои то значение ?, при котором радиальная кинетическая энергия частицьс (в точке г) сводится к нулю (значение Е, при котором точка г становится «точкой поворота»: V (г) = Е). Заметим, что равным образом эффективным потенциалом можно считать V2 (г) и определить точку поворота условием V* = E2. Выбор определения зависит от удобства, от пред-
1 *
полагаемого применения, от связи с модельным дифференциальным уравнением х2 + V (х) = E
и происходит под влиянием желания привести эффективный потенциал в соответствие с эффективным потенциалом ньютоновской теории. Устойчивые круговые орбиты возможны (изображающая точка расположена в минимуме аффективного потенциала) только для значений L, превышающих У^ЪМ. Для любого такого]фиксированного значения L движение незначительно' отклоняется от кругового при отклонении энергии от минимума потенциала (см. на диаграмме-«а» две сплошные горизонтальные линии для X = 3,75 M)- В классической физике движение ограничено областью положительной кинетической энергии. В квантовой физике частица может совершить туннельный переход через область, где вычисленная классически кинетическая' энергия отрицательна (на фигуре см. заштрихованные горизонтальные линии), и двигаться по направлению к «потенциальной яме» (захват черной дырой). Вероятность такого туннельного перехода пренебрежимо мала, если центр притяжения имеет любые макроскопические-
§ 25.1. От авконоеКеплера к аффективному потенциалу 307
2
размеры, но в принципе этот туннельный переход становится важным для черной дыры с массой IO17 г (или 10*“ см), если такой объект, вообще говоря, может существовать.
Диаграмма «б» дает значения минимума и максимума потенциала в зависимости от момента импульса пробной частицы. Корни dVldr даны как функции «параметра приведенного момента импульса» Li = LlM = UМи.
6М
Г_1 + (1 — 12/Ln)1/1! ’
ъг (?*2 +36)+(Lt2-12)(1-12/L+2)17*
E =------------------54------------------
[ = 8/9 для L* = (12)*^*; 1 для Lt = 4; (?+2/27) + (1/3) (ULn)+
+... для L+ —> оо)
(положительный коревь для максимума эффективного потенциала, отрицательный корень для минимума; см. упражнение 25.18).
Дополнение 25.1. МАССА, ВЫЧИСЛЕННАЯ ПО СРЕДНЕЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И БОЛЬШОЙ ПОЛУОСИ: M = а>2 а*
Применимость ньютоновского анализа определяется малостью массы (или «полу-радиусом Швардшильда», или «протяженностью ямы в потенциале»), приведённой в последнем столбце, по сравнению с большой полуосью а, приведенной в предпоследнем столбце. Основные данные взяты из книги Аллена [307].
Объект Период *, сут M1 CM-I а, CM е>2аз, CM
Планеты
Меркурий 87,9686 275,8-10-«» 0,5791-IO13 1,477-IO5
Вевера 224,700 107,95 1,0821 1,477
Земля 365,257 66,41 1,4960 1,477
Марс 686,980 35,31 2,2794 1,477
Юпитер 4332,587 5,599 7,783 1,478
Сатурн 10759,20 2,255 14,27 1,477
Уран 30685 0,7905 28,69 1,476
Нептун 60188 0,4030 44,98 1,478
Плутон 90700 0,2674 *10“19 59,00-10»з 1,469-IO5
Главные спутники Юпитера
Ho 1,769138 13,711-10-»« 0,422-10»» 141,3
Европа 3,551181 6,831 0,671 141,0
Ганимед 7,154553 3,391 1,070 140,8
Каллисто 16,689018 1,454-10"*« 1,883-10“ 141,1
Два спутника Земли
ОНО 5** 95,6 мин 3,65-10-»« 6,916-10« 0,442
Луна 27,32 0,888-10-« 3,84-10-»° 0,446
* Имеется в виду сидерический период: время одного оборота относительно неподвижных звезд.
** Орбитальная научная обсерватория, запушенная 22 явваря 1969 г. для наблюдения рентгеновского
и ультрафиолетового излучения от Солвца. Перигей 531 км. апогей 560 км над Землей.
20*
308 25. «Яма в потенциале* как основное свойство потенциала
Некоторые типичные массы и времена в обычных и геометрических единицах
ҐІереводноя коэффициент для массы Gjci = 0,742. IO-28 см/г
Масса Галантина Солнце Юпитер Земля
-добычи, г 2,2-1044 1,989-1033 М, см 1,6‘Ю18 1,47-108 1,899-1030 112 5,977 -IO27 0,444
Переводной коэффициент для времени с = 2,998-IO10 см/с 1 сидерический год = 365,256 сут или 3,1558-IO7 с
Период 1 с 1 мин 1 ч 1 сут
Юобычн. с-1 6,28 1,046-10-1 <в, см'1 2,09-10-10 3,48-10-« 1,75-IO-3 5,80-IO-14 7,28-IO-5 2,42-10-15
1 неделя і месяц 1 год
1,04-10-5 2,39-IO-* 3,46-Ю-16 7,95-Ю-17 1-,99-IO"7 6,63-IO-18
Дополнение 25.2. ДВИЖЕНИЕ В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ КАК ОСНОВНАЯ ОТПРАВНАЯ ТОЧКА ГЛАВНЫХ
ПРИЛОЖЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНОВСКОЙ ГЕОМЕТРОДИНАМИКИ
1. Ньютоновское действие Солнца на планеты и Земли на Луну и человека.
2. Искривление света в гравитационном поле Солнца.
3. Красное смещение света * испущенного Солнцем.
4. Прецессия перигелия Меркурия вокруг Солнца.
