Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 25.2 (симметрии) необходим как подготовительный материал к дополнению 30.2 (перемешанный мир). Оставшаяся часть главы не является существенной для изучения какой-либо из последующих глав, но будет полезна для понимания
1) гл. 31—34 (гравитационный коллапс и черные дыры) и
2) гл. 40 (эксперименты в Солнечной системе).
§ 25.1. ОТ ЗАКОНОВ КЕПЛЕРА
К ЭФФЕКТИВНОМУ ПОТЕНЦИАЛУ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ В ШВАРЦШИЛЬДОВСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Наибольшим триумфом, увенчавшим ньютоновскую теорию тяготения, было объяснение принципиальных особенностей Солнечной системы: линия, соединяющая планету с Солнцем, «заметает» при движении планеты равные площади ва равные времена; орбита планеты является эллипсом, в одном ив фокусов которого находится Солнце; куб главной полуоси эллипса а, умноженный на квадрат средней угловой скорости планеты на орбите (со = 2л/период), дает число с размерностью длины, одинаковое для всех планет (дополнение 25.1) и равное массе Солнца
M = CO2A8.
1
Обзор
данной главы
х) Из позмы [512].
304 25. «Яма в потенциале» как основное свойство потенциала
То же самое в точности справедливо для спутников Юпитера (фиг. 25.1) и Земли (дополнение 25.1) и всюду на небесах. Что можно дополнительно ожидать от теории тяготения Эйнштейна, когда она в свою очередь берется разрешать эту вековую тему пробного объекта, движущегося под действием сферически-сим-метричного центра притяжения? Принципиально новый результат можно сформулировать в одном предложении: поведение частицы определяется «эффективным потенциалом» (фиг. 25.2 и § 25.5, 25.6), который обладает следующими свойствами: а) на больших расстояниях носит характер притяжения — Mlr, б) на коротких — характер отталкивания (момент импульса)2/г2, присущий ньютоновской теории тяготения, и в) на еще более ко-
Запад
Восток
Запад
Восток
ФИГ. 25.1.
Спутники Юпитера, как это следует из ночных наблюдений за ними с помощью полевого бинокля или телескопа, дают возможность проверить для себя основные идеи гравитационной физики в ньютоновском приближении (расстояния велики по сравнению со шварцшильдовским радиусом). Для практически круговых орбит этих спутников закон Кеплера принимает вид M1 = W2J^ («принцип 1—2—3»), а скорость на орбите равна P = шг. Получив из наблюдений значения любых двух величин р, M1 <а, г, можно найти две другие. (В противоположном предельном случае двух объектов, обладающих равными массами М, находящихся на расстоянии г друг от друга и обращающихся вокруг общего центра тяжести, имеем M = со2г3/2, р = сог/2.) Приведенные здесь пространственные расположения спутников Юпитера I_IV за декабрь 1964 г. (дни 0,0; 1,0; 2,0 и т. д. во «всемирном времени»,
о котором см. в любом хорошем словаре или энциклопедии) взяты из календаря за 1964 г. [306].
§ 25.1. От законов Кеплера к эффективному потенциалу 305
2
ротних расстояниях имеет потенциальную яму. Эта яма 1) захватывает частицы, достаточно близко подходящие, 2) устанавливает критическое расстояние ближайшего подхода для процесса захвата черной дырой, 3) для частицы, которая подходит к критической точке, но не пересекает ее, удлиняет время обращения по сравнению со временем, ожидаемым согласно ньютоновской теории, и тем самым 4) делает время радиального отклонения длиннее периода обращения, 5) вызывает прецессию орбиты, остающейся в остальном кеплеровской, и 6) отклоняет быструю частицу или фотон на большие углы, чем это предсказывает ньютоновская теория.
Поскольку потенциальная яма является основным новым характерным свойством потенциала, определяющего движение в шварц-шильдовской геометрии, и источником главных предсказаний (дополнение 25.2), целесообразно искать наиболее прямой путь к понятию аффективного потенциала, его смыслу и применению. Ближайшим из имеющихся в нашем распоряжении проводников в этом поиске является ньютоновская механика.
Аналитическая механика предлагает несколько способов рассмотрения проблемы движения в поле центральной силы и два из них здесь наиболее уместны:
1. Метод мировой линии, который включает в себя дифференциальные уравнения движения второго порядка (уравнения Лагранжа), поиск постоянных интегрирования, сведение к уравнениям первого порядка и дальнейшее интегрирование весьма различными способами в соответствии с тем, что хотят знать: форму орбиты 0 = 0 (г) или время достижения данной точки на мировой линий t = t(r).
2. Метод волнового гребня, иначе известный как «метод эйконала» или «метод Гамильтона — Якоби», который задает движение с помощью условия «усиливающей интерференции волновых гребней» и делает таким образом единственный скачок от уравнения Гамильтона — Якоби к движению пробного объекта.
Оба метода используются здесь по очереди, поскольку каждый из них дает особое понимание проблемы. Метод Гамильтона — Якоби (дополнение 25.3) быстро ведет к основным интересным результатам (дополнение 25.4) и тесно связан с квантовым принципом. Метод мировой линии (§ 25.2—25.4) исходит из самих уравнений движения по геодезическим. Он дает более привычный способ подхода к предмету для читателя, незнакомого с подходом Гамильтона — Якоби. Кроме того, при попытке решить уравнения движения по геодезическим необходимо анализировать свойства симметрии геометрии — предприятие, которое продолжает платить дивиденты при переходе от шварцшильдовской геометрии к геометрии Керра — Ньюмена (гл. 33) и от космологической модели Фридмана (гл. 27) к более общим космологическим моделям (гл. 30).
