Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
^aP = VVBK50ai0fi). (16.7)
А
------тензор третьего ранга
Расчет затем продолжается следующим образом:
<<, V3VaB) = <оЛ Vp (Ba-VB)) = (и11, (Vp0a) ¦ VB + 0а • (V3T В)) = = (W1S Г«рвг* VB+ VTB (..., вй, вр)) =
Поэтому
в*. - в**; Pa = <«»*, IV3, Va] в> - В», V (Iwap - Tvpa) =
= (01*4, [Vp, V0,] В) «Л V(VpBa-VaB3)B) =
= (ITp, — V[врвв]) В) = (вр, 0о) В) =
= R\fi*BV
§ 16,3. Проблема порядка индексов в принципе эквивалентности 19
I
в согласии с (16.6а). Замечание: Вследствие некоторой неоднозначности абстрактной записи следует проявлять осторожность на каждой ступени расчета. В противоположность этому запись в компонентной форме полностью однозначна.]
16.4. Прецессия равноденствий
а. Покажите, что закон переноса вектора Sa собственного углового момента Земли в искривленном пространстве-времени имеет вид
^ = BawJ^vvtUeUvUt. (16.8)
Здесь dJdx = и есть 4-скорость вдоль мировой линии Земли, і Pu — приведенный квадрупольный момент Земли (часть второго момента функции распределения масс с равным нулю следом), определенный в земной локально лоренцевой системе отсчета соотношениями
*3 5 =*5 Г“°» *Tk = J P —-jr%k)d3x, (16.9)
и — риманова кривизна в точке нахождения Земли, созда-
ваемая Луной, Солнцем и планетами. [Укааание: Выведите этот результат в земной локально лоренцевой системе отсчета, пренебрегая кривизной пространства-времени, созданной Землей. (В этой
существенно НЬЮТОНОВСКОЙ СИТуаЦИИ КОМПОНеНТЫ КРИВИЗНЫ J1
созданные Землей, Солнцем, Луной и планетами, складываются линейно, «тяготение слишком слабо для нелинейности».) Проинтегрируйте момент сил относительно центра масс Земли, создаваемый приливными гравитационными силами («гёодезическое отклонение»):
(ускорение в точке Xі относительно центра масс (Xі — 0), вызванное приливными гравитационными силами, но частично сбалансированное внутренними напряжениями Земли
плотность сила на единицу объема, \S Jr
пропорциональная ускорению I _ % {-
относительно центра масс / — P P о Г бх *
УПРАЖНЕНИЯ
2*
I
20 16. Принцип эквивалентности
УПРАЖНЕНИЯ / момент СИЛ HB ЄДИНИЦУ объема \ J jf г
\ относительно центра масс = eOtThx \ Р-“ STojj /»
( полный момент \ = [ ге_____Х1 (_oRK . Гчі
^ относительно центра масс ) ~ J1O о fc \ " о г Oi /Juj-
Приведите это выражение к виду, содержащему f приравняйте его diS J- Idx и затем перепишите в не зависящей от системы отсчета компонентной форме. В результате должно получиться уравнение (16.8).]
б. Перепишите уравнение (16.8) в земной локально лоренцевой системе отсчета, воспользовавшись равенством
OftO = S1OIdx7 дк\
выражающим компоненты тензора Римана через ньютоновский гравитационный потенциал. (Ньютоновское приближение к теории Эйнштейна. Читатели курса 2 встретились с этим равенством в гл. 12, читатели курса 1 встретят его в § 17.4.)
в. Вычислите dS> Idt, используя с самого начала ньютоновскую теорию тяготения. Ответ должен совпасть с ответом, полученным в пункте, «б» с помощью теории Эйнштейна.
г. Считая Луну и Солнце точечными массами, вычислите даль-нодействующее влияние порождаемых ими пространственно-временных кривизн на земную ось. Используйте результат пункта «б» и достаточно точные значения соответствующих параметров Солнечной системы. [Ответ: Земная ось прецессирует по отношению к осям ее локально лоренцевой системы отсчета («прецессия равноденствий», «общая прецессия»), период прецессии равен 26 000 лет. Детали расчета можно найти в любом учебнике по небесной механике.]
Дополнение 16.1. ПРОБЛЕМА ПОРЯДКА ИНДЕКСОВ И ЕЕ СВЯЗЬ С* КРИВИЗНОЙ В ПРИЛОЖЕНИЯХ ПРИНЦИПА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Задача
В каком порядке следует писать производные при применении правила «запятая переходит в точку с запятой»? В плоском пространстве-времени перестановка производных не играет роли, однако в искривленном пространстве-времени она при* водит к дополнительным членам, пропорциональным кривизне, например 2B“;[vP] == #“;v3 — = Для любого векторного поля (см. упражне-
ние 16.3). Следовательно, задачу можно переформулировать так: Когда при применении правила перехода запятой в точку с запятой следует прибавлять члены, пропорциональные кривизне?
§ 16.3. Проблема порядка индексов в принципе эквивалентности 21
I
Решение
В общей случае решение отсутствует, однако в большинстве случаев к однозначному решению приводят следующего рода математическое и физическое соображения.
А. По чисто математическим признакам члены, пропорциональные кривизне, почти всегда возникают из-за некоммутативности ковариантных производных. Следовательно, необходимо подумать об этих членах в любом уравнении, содержащем двойную ковариантную производную (например, —Aa' ц“ =
= 4я/“), иначе говоря, в любом уравнении, вывод которого иа более фундаментальных законов содержит двойные ковариантные производные (например, Vu$ = Ob примере 3 п. Б.) Во всех остальных случаях вопрос о дополнительных членах, пропорциональных кривизне, мхэжно игнорировать (например, в максвелловских уравнениях первого порядка).
