Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 16.3. Проблема порядка индексов в принципе аквивалентности 17
I
16.2. Мировые ЛИВИИ фотонов
Покажите, что в плоском пространстве-времени закон сохранения 4-импульса свободно движущегося фотона можно записать в виде
VpP = O. (16.4а)
В соответствии с принципом эквивалентности уравнение (16.4а) должно быть справедливо также и в искривленном пространстве-времени. Покажите, что это означает, что фотон движется по нулевым геодезическим искривленного пространства-времени с аффинным параметром Я, связанным с 4-импульсом формулой
р= <*/<&. (16.46)
В упражнении 18.6 этот результат будет использован для расчета отклонения света Солнцем.
§ 16.3. ПРОБЛЕМА ПОРЯДКА ИНДЕКСОВ В ПРИНЦИПЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Иногда при применении принципа эквивалентности для перехода от физики в плоском пространстве-времени к физике в искривленном пространстве-времени сталкиваются с «вопросом о порядке индексов» по аналогии с проблемой порядка сомножителей,
і встающей при переходе от классической механики к квантовой *).
, Пример: Как перевести в искривленное пространство-время урав-
нение (3.56) для векторного электродинамического потенциала? Если в плоском пространстве-времени уравнение записывается в виде
-Аа'\ + А»,»а = АпГ,
то, согласно правилу «запятая переходит в точку с запятой», оно принимает вид
- Аа: %+А* = AnJa. (16.5)
Однако если в уравнении в плоском пространстве-времени изменить порядок частного дифференцирования, т. е.
-Аа'\ + А»'\ = 4я7“, то оно перейдет в уравнение
-Лв;%-Мц:вд = 4я/“,
*) Обсуждение квантовомеханических проблем порядка сомножителей см., например, в книге Мерцбахера [37], стр. 138, 139 и 334, 335, а также в работе Паули [38].
2-01508
УПРАЖНЕНИЯ
Проблема порядка индексов п ее связь с кривизной
I
16 IS. Принцип эквивалентности
УПРАЖНЕНИЯ
ОписанныЗ выше переход в формализме от плоского к искривленному пространству-времени — процедура тривиальная. Однако она не тривиальна в приложениях. Такой подход связывает гравитацию со всеми законами физики, причем гравитация входит главным образом через ковариантные производные искривленного пространства-времени, как это ясно видно из упражнения 16.1.
16.1. Гидродинамика в слабом гравитационном поле
а. В § 18.4 будет показано, что для почти ньютоновской системы, рассматриваемой в соответствующей почти глобально лоренцевой системе координат, метрика имеет вид
ds* = _(1 + 2Ф) dt2 + (1 — 2Ф) (da? + dy2 + dz2),
(16.2а)
где Ф — ньютоновский потенциал (—1<С Ф •< 0). Рассмотрите почти ньютоновскую идеальную жидкость с тенаором энергии-импульса
T7OtP = (р р) uauP Jr pgab, р<? р (16.26)
(см. дополнение 5.1 и § 5.10), движущуюся в таком пространстве-времени с обычной скоростью
V* = dx4dt4^ 1. (16.2в)
Покажите, что уравнения Тцу>;у, = 0 для этой системы сводятся
к привычному ньютоновскому закону сохранения массы и ньютоновскому уравнению движения жидкости в гравитационном поле:
dp di>i dui ЗФ dp 0 .
Л-=-PfaT' P-5T=-Pft3—33-• (16-3а>
где d/dt означает сопутствующую веществу производную по времени]
¦Я—rHV-ег- (16-36)
б. Примените эти уравнения для вычисления градиента давления в земной атмосфере как функции температуры и давления. Используйте в расчетах нерелятивистское соотношение р = пм]1м, где пм — число молекул в 1 см3 и Jim — средняя масса покоя на одну молекулу, а также используйте уравнение состояния идеального газа
P — пмкТ (к — постоянная Больцмана)
и сферичвски-симметричный вид Ф == —Mlr ньютоновского потенциала Земли. Бели давление на уровне моря равно 1,01-IO8 дии/сма, то каково приблизительно давление на вершине горы Эверест (высота 8 840 м)? (Сделайте разумное предположение о распределении температуры в атмосфере.)
18 IS. Принцип эквивалентности
УПРАЖНЕНИЯ
которое можно переписать так:
- Aa' % + Aix. * + RavtA* = 4лJa. (16.5')
(Тензор Риччи появляется в результате изменения порядка кова-риантного дифференцирования, см. упражнение 16.3.) Какое из двух уравнений правильное — (16.5) или (16.5')? Вопрос не тривиален, так же как не тривиальны аналогичные проблемы порядка сомножителей в квантовой теории. Правила «на пальцах», которые разрешают эту и другие проблемы порядка индексов, можно найти в дополнении 16.1. Эти правила гласят, что уравнение (16.5') правильно, а уравнение (16.5) ошибочно (см. дополнение 16.1 и § 22.4).
І6.3. Некоммутативность ковариантных производных
Пусть В — векторное поле| и S — поле тензора второго ранга. Покажите, что
В», ар == В», За + R\fiaBy, (16.6a)
Sliv; ар = Sliv; ра + .RV-Spv + -RvPPccS11p. (16.66)
Воспользовавшись уравнением (16.6а), покажите также, что
ац = Вц® + BailB11. (16.6в)
[Указание к расчету в рамках курса 1: Работайте в локально лоренцевой системе отсчета, где Гар7 = 0, но r°pVia ф 0; распишите левую часть, используя символы Кристоффеля и частные производные; примените равенство (8.44) для тензора Римана. Для альтернативного расчета в курсе 2 заметим, что VpVotB нелинейно по еа и что не являются компонентами этого тензора, а
