Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Сравнение
НЬЮТОНОВСКОЙ и
эйнштейновской точек врения на гидростатическое равновесие
I
Вывод уравнения Дія А
Определение «наосы-энергии т (г) внутри радиуса г»
266 23. Сферические авезди
ложно направлены), поэтому не удивительно, что уравнения (23.17) и (23.17Н) отличаются только в деталях.
Обратимся затем к уравнению поля Эйнштейна. Здесь, как это часто бывает, компоненты уравнения поля в ортонормальной системе отсчета жидкости [уравнения (23.15а) и (23.156)] проще, чем компоненты в координатном базисе. Тензор энергии-импульса T - g в ортонормальной системе отсчета уже известен [уравнение (23.15г)]. Тензор Эйнштейна G-д читатели курса 2 уже вычисляли (упражнение 14.13), а читатели курса 1 встретятся с этой задачей в конце данного параграфа (упражнение 23.4). Остается приравнять G~ ^ и 8пТ ~ ^. Рассмотрим сначала компоненту Об уравнений поля:
G6 s = г~г - r-V2* - г-1 [d/dr) (е-2л) =
= r-a (dtdr) Ir (1 - е-зл)1 = SnTbs = 8лр.
Это уравнение довольно легко решить, так как оно представляет собой дифференциальное уравнение, линейное по е-2А. Сосредоточим внимание на величине г (1 —е~ЗА). Обозначим ее через 2пг(г) (пока только обозначение!); таким образом, имеем
2m = г (1 — е-2А), в*А = (і _ 2ТПІГ)-1. (23.18)
Используя это обозначение, перепишем компоненту 00 тензора Эйнштейна в виде
2 dm (г)
G
о о
г2 dr
¦¦ 8яр.
Проинтегрировав ее, найдем
Г
m (г) = j 4лг2р dr + m (0).
(23.19)
Если постоянная интегрирования тп (0) равна нулю, то геометрия пространства в начале координат гладкая (физически приемлемая), а если ш (0) имеет ненулевое значение, то геометрия пространства в начале координат сингулярна (физически неприемлемая: нет локально лоренцевой системы отсчета в г = 0):
ds2 = [ I — 2m (0)/r]_1 dr2 -(- rz (d02 -f- sin2 0 да
« - [г/2т (0)] dr2 + г2 (d02 + sin2 0 dp)
при г « 0, если т (0) Ф 0; (23.20)
ds2 = [ 1 — (8л/3) Рс/2]”1 dr2 -j- г2 (d02 + sin2 Qdfy2) ж яі dr2 + г2 (d02 -)- gin2 0 d(j>2) при г я# 0, если т (0) = 0.
Величина т (г), определяемая равенством (23.18) и вычисленная по формуле (23.19) при тп (0) = 0 является релятивистским аналогом «массы-энергии внутри радиуса г». Подробно эта анология разъясняется в дополнении 23.2.
§ 23.5. Уравнения внутреннего строения звезды. 267
I
Обратимся затем к компоненте гг уравнений поля:
G~ - = — г-2 + r~2e~2A + 2r~le~ZA dQ)/dr =
= 8пТ~~ = Snp.
Разрешая это уравнение относительно производной от Ф и заменяя е~2Л на 1—2 m/r, получаем выражение для градиента потенциала Ф:
іФ=тр»ф> 32
dr г (г—2т) 4 '
В ньютоновском пределе это выражение сводится к известной формуле
йФ/dr = m/r*. (23.21Н)
При изучении внутреннего строения звезды уравнение (23.17) заменяется эквивалентным уравнением, полученным с помощью
(23.21):
Ap _ (Р + Р) (т+AnraP)
dr r(r — 2m) ‘ (40.44)
Уравнение (23.22) называется уравнением гидростатического равновесия Оппенгеймера — Волкова (OB). Его ньютоновский предел хорошо известен:
dp/dr = —р m/r®. (23.22Н)
Сравните две модели звезды — релятивистскую и ньютоновскую, — предполагая, что на данном радиусе г [определяемом в обоих случаях из формулы (собственная площадь) = 4лг2] обе конфигурации имеют одинаковые значения р, р и т. Тогда в релятивистской модели градиент давления равен
________________dp____________________ dp __
d (собственное радиальное расстояние) еА dr
_ (Р+р) (т+4ягЗр) _ __
г2(1— 2mfr)i/2 ’
а в ньютоновской модели —
dp dp
_ — Pct (23 23 Н)
, d (собственное радиальное расстояние) dr г2 ' ' '
Градиент давления в релятивистской модели больше, чем в ньютоновской, поскольку 1) числитель больше (добавляется в оба сомножителя давление) и 2) знаменатель меньше [включен множитель, учитывающий сокращение (I—2m/r)1/2]. Следовательно, по мере продвижения в глубь звезды давление растет быстрее, чем это предсказывается ньютоновской теорией. Кроме того, этот рост давления является в некотором смысле «саморазгоняющимся». Чем больше увеличивается давление, тем больше становятся поправочные к давлению члены, входящие в числитель (23.23), а чем больше эти члены, тем быстрее растет давление при продвижении
Вывод уравнения дян Ф
Уравнение гидростатического равновесия в форме «ОВ»
Сравнение градиентов давления в ньютоновской и режятивистокой авевдах
I
268 23. Сферические звезды
Уравнения внутреннего строения звеады, резюме
УПРАЖНЕНИЯ
в глубь звезды. Геометрический множитель [I—2m(r)/rp/2 в знаменателе (23.23) дополнительно увеличивает этот «самораз-гоняющийся» рост давления по направлению к центру.
Уместно кратко подытожить ситуацию: общая теория относительности по сравнению с ньютоновской теорией предсказывает в стационарном теле более мощные гравитационные силы. Эти силы наряду с другими важными эффектами могут подвергнуть гравитационному коллапсу некоторые белые карлики и сверх-массивные звезды в тех случаях (см. гл. 24), когда ньютоновская теория предсказывает устойчивое гидростатическое равновесие. Из анализа устойчивости элементарно следует, что не существует эвезды в гидростатическом равновесии, для которой 2m(r)/r ^ 1 (иллюстрацию см. в дополнении 23.3, а обсуждение в § 23.8); этот критерий не имеет места в ньютоновской теории.
