Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Достигнув поверхности, перенормировать потенциал Ф, добавив к нему постоянную, так чтобы он подчинялся граничному условию (23.28д). В результате получится релятивистская звездная модель, функции которой Ф, т, р, р, га удовлетворяют уравнениям внутреннего строения.
Заметим, что для любого фиксированного выбора уравнений состояния р = р(п) ир = р(га) звездные модели образуют однопараметрическую последовательность (параметр рс). После того как центральное давление задано, модель однозначно определена.
В следующей главе описано семейство релятивистских звездных моделей, построенных численно по вышеприведенному рецепту. Об идеализированной звездной модели, построенной аналитически, см. дополнение 23.3.
23.8. Ньютоновские звезды с однородной плотностью
Вычислите в ньютоновской теории внутреннее строение конфигурации с однородной плотностью. Покажите, что релятивистские конфигурации, рассматриваемые в дополнении 23.3, тождественно переходят в ньютоновские конфигурации в пределе слабого гравитационного поля. Покажите также, что в ньютоновской теории нет ограничений на массу и радиус.
Как решать уравнения, описывающие внутреннее отроение звезды
УПРАЖНЕНИЕ
18-01508.
I
274 23. Сферические звеады
Дополнение 23.3. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МОДЕЛЬ ЗВЕЗДЫ С ОДНОРОДНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ
Для реалистических уравнений состояния (см. следующую главу) проинтегрировать аналитически уравнения внутреннего строения звезды (23.28) невозможно; необходимо численное интегрирование. Однако аналитические решения существуют для различных идеализированных и выбираемых ad hoc уравнений состояния. Одно из наиболее полезных аналитических решений, полученное Карлом Шварцшильдом [241], описывает звезду с однородной плотностью
Чтобы принять эту модель, нет необходимости предаваться фикции «несжимаемой жидкости». Несжимаемость означала бы, что скорость звука v = (dp/dp)1/* имеет бесконечное значение и превышает, следовательно, скорость света, а это находится в противоречии с основным принципом специальной теории относительности («принципом причинности»), утверждающим, что никакой физический эффект не может распространяться со скоростью v > 1. (Если источник смог бы вызвать такой быстрый эффект в одной локально лоренцевой системе отсчета, то тогда существовала бы другая локально лоренцева система отсчета, в которой эффект наступил бы раньше, чем начал действовать источник!) Однако легко допустить, что часть жидкости в области высокого давления имеет такую же плотность, как и часть жидкости в области низкого давления, если только предположить, что состав жидкости изменяется с изменением г («сшитый вручную»). He зависимо от того, принимаем ли мы такое предположение или просто имеем в виду сферическую каплю воды, размеры которой составляют малую долю размеров Земли, модель Шварцшильда представляет собой поучительный пример гидростатики в рамках теории Эйнштейна.
Формула (23.28а) для массы немедленно дает
откуда следует выражение для поправочного размерного множителя в метрике:
Если для облегчения представления пространственная геометрия (г, ф) экваториального сечения звезды рассматривается как погруженная в евклидову 3-геометрию (z, г, ф) [см. § 23.8], то «подъем» над плоскостью z = О равен
р = Po = const для всех р.
(1)
т =
{
(4я/3)р0г3 для г CR, M = (4л/3) Po-R3 для г> Д,
(2)
(3)
” (R3/2M)1/2 [1-(1 — 2Mr2/R3)1/2 для г<Д, z (Г)=, (й3/2М)1/! [I — (1 — 2M/R)l/2] + [8М (г — 2М)]1/г— (4)
— [SM (R — 2М)]Уг для г>Д.
§ 23.7. Как построить звездную модель 275
I
Определив т (г) из формулы (2), можно проинтегрировать уравнение гидростатического равновесия (23.286) и получить давление
Давление в свою очередь позволяет найти с помощью уравнения (23.28д) поправочный временной множитель в метрике
Свойства конфигураций с однородной плотностью заслуживают внимания.
I. В случае фиксированной плотности энергии р„ давление в центре
монотонно увеличивается с увеличением радиуса R, а, следовательно, также и с увеличением массы M = (4я/3) р0/?3 и отношения («силы тяготения»)
Это естественно, поскольку чем больше вещества добавляется к звезде,тем больше давление, необходимое для удержания равновесия.
2. Давление в центре становится бесконечным, когда М, R и 2MIR достигают предельных значений
Масса и радиус звезды с однородной плотностью не могут превышать эти пределы. Эти пределы чисто релятивистское явление; в ньютоновской теории они отсутствуют.
3. Внутри звезды пространственная геометрия (геометрия гиперповерхности t = const) совпадает с геометрией трехмерной сферической поверхности с радиусом кривизны*
метрия есть геометрия трехмерного параболоида вращения. Внутренняя и внешняя геометрии гладко сшиваются. Все эти детали показаны на следующих трех диаграммах. Все величины, представленные на них, даны в геометрических единицах (от единицы массы г и единицы плотности г/см3 можно перейти соответственно к единицам см и см-2, умножив первые на 0,742-IO-28 см/г): длины —в единицах (3/8 лр0)1/а, давление.— в-1 единицах р, масса — в единицах (3/32 яр0)1/2.
