Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
ds* = [1—2т (r)/r]-1Cfr8+ r*df2. (23.30)
Теперь можно погрузить эту двумерную геометрию искривленного пространства в плоскую геометрию трехмерного евклидова многообразия.
Если кривизна двумерного сечения равна нулю или пренебрежимо мала, то погружение тривиально. В этом случае достаточно отождествить 2-геометрию с сечением 2 = 0 евклидова 3-пространства и ввести, кроме того, в это 3-пространство обычные цилиндрические координаты 2, г, ф, которые применяются в любой задаче с аксиальной симметрией (подробнее см. фиг. 23.1 и дополнение 23.3). Тогда двумерное плоское сечение будет представлять собой множество точек евклидова пространства с z = 0, ф, изменяющимся от 0 до 2л, и координатой г, изменяющейся от 0 до оо, причем г и ф двумерного сечения отождествлены с г и ф евклидова 3-пространства.
Если 2-геометрия искривлена, как это имеет место для экваториального сечения реальной звезды, то, сохраняя отождествление г, ф двумерного сечения Cr, ф евклидовой 3-геометрии, отогнем сечение от плоскости Z = 0 (везде, за исключением начала г = 0). В то же время потребуем, чтобы отгибание было аксиально симметричным. Другими словами, потребуем, чтобы величина «подъема» над плоскостью z = 0 не зависела от ф, какова бы ни была ее зависимость от г. Таким образом, все погружение характеризуется одной функцией, т. е. подъемом
z = z (г) («формула погружения»).
Геометрию этого искривленного двумерного геометрического места точек в евклидовом пространстве (3-пространство — лишь математическая конструкция, не имеющая отношения к реальному миру) следует отождествить с геометрией двумерного экватори-
§ 23.8. Геометрия пространства-времени для статич. звезды 279
Геометрия внутри (заштриховано) и вокруг (без штриховки) звезды радиусом R = 2,66 M (схематическое представление). Звезда находится в гидростатическом равновесии и имеет нулевой момент импульса (сферическая симметрия). Двумерная геометрия
dss = [1 — 2т М/г]-1 dr2 + г" d<p*
экваториального сечения звезды (Э = я/2, t = const), погруженная в евклидово 3-пространство, представлена таким образом, что расстояния между любыми двумя соседними точками (г, Ф) и (г + dr, ф + dф) воспроизведены правильно. Расстояния, измеренные вне искривленной поверхности, и точки вне этой поверхности, а также сама евклидова 3-геометрия не имеют физического смысла. Имеет смысл только искривленная 2-геометрия. Собственная длина окружности шварцшильдовского координатного радиуса г равна 2яг (рассматривается экваториальная плоскость звезды Э = я/2). Чтобы получить наглядное представление о полной 3-геометрии в звезде и вокруг нее в любой выбранный момент шварцшильдовского координатного времени t, заменим эту окружность сферой с собственной площадью 4яг2, проделав аналогичную процедуру со всеми другими окружностями. Множитель [1 — 2т (г)/г]-1 не становится сингулярным с уменьшением г до г = 2М, поскольку с уменьшением г достаточно быстро уменьшается т(г).
ального сечения, проведенного через реальную звезду, другими словами, линейные элементы в обоих случаях должны совпадать. Чтобы выразить это требование в математических терминах, перепишем линейный элемент трехмерного евклидова пространства в виде
ds2 = dz2 + dr2 + г2 d$2. (23.31)
Ограничимся выбранным геометрическим местом точек («поднятая поверхность»), т. е. запишем z = z(r) или dz = (dz/dr) dr. Отсюда для линейного элемента двумерного геометрического места точек в 3-геометрии имеем
dsZ^i + ^^^'f^drb + rbdp-, (23.32)
I
280 23. Сферические ввевди
Описание
погруженной
поверхности
УПРАЖНЕНИЯ
этот линейный элемент должен быть отождествлен с линейным элементом в реальной звезде:
ds* = [1 — 2т (г)/г]'1 dr2 + г2 dcj>*.
Сравнивая, заключаем
(?^)2 + 1 = I1 -ЬпМ/гГ1. (23.33)
Полученное уравнение позволяет найти подъем как функцию г; таким образом, имеем
Г
* (г) = j -—г dT л1/1 везде. (23.34а)
0 L 2т (г) 1J
z (г) = [8M(r — 2M)Yt2 + const вне звезды, (23.346)
Вне звезды эта погруженная поверхность представляет собой сегмент параболоида вращения. Форма ее внутри звезды зависит от вида функции т(г). Напомним, что вблизи центра звезды т(г) изменяется как (4п/3)рсг3. Поэтому заключаем, что погруженная поверхность там выглядит как сегмент сферы радиуса а = = (3/8 яре)1/*; следовательно, можно написать
Iа — z (г)]2 + г2 = а2 для г a = (3/8npc)V2. (23.34в)
В особом случае звезды с однородной плотностью (дополнение 23.3) вся внутренняя часть поверхности имеет сферическую форму (23.34в); в общем случае это не так. В силу того, что г >2 т(г), уравнение (23.34а) всегда описывает поверхность с монотонно увеличивающимися функциями z (г) и г (z). Это означает, что погруженная поверхность всегда, подобно вазе, раскрывается вверх и наружу и качественно похожа на поверхность, изображенную на фиг. 23.1; она не имеет горла и может быть плоской только асимптотически при г = оо. На поверхности звезды, несмотря на то что плотность может разрывным образом обращаться в нуль (плотность р конечна внутри при р — О и равна нулю снаружи), внутренняя и внешняя геометрии должны сшиваться гладким образом [производная dz/dr, заданная уравнением (23.33), непрерывна].
