Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Помимо описанного выше критического свойства тп (г), связанного с «локальным потоком энергии», имеются еще три свойства, подтверждающие отождествление т(г) с массой-энергией. Перечислим их:
1. Повсюду вне явезды
полная масса-энергия звезды, измеренная с помощью третьего закона Кеплера для удаленных планет
доказательство см. в § 23.6.
2. Для ньютоновской звезды т(г) является той «массой внутри радиуса п, которая имеет однозначный смысл.
3. Для релятивистской звезды т(г) точно расщепляется на «массу-энергию покоя» т0 (г), «внутреннюю энергию U (г)» и «гравитационную потенциальную энергию» Q (г).
§ 23.6. Внешнее гравитационное тле 271
I
Чтобы признать и оцепить расщепление
т (г) = т0 (г) + U (г) + Q (г), (3)
поступим следующим образом. Расщепим вначале полную плотность массы-энер-гии р на часть ц0п, обусловленную массоё покоя, где ц0 — средняя масса покоя имеющихся типов барионов, и на часть р — ц0п, обусловленную внутреннеё тепловой энергиеё, анергией сжатия и т. д. Заметим далее, что собственный объем оболочки толщиной dr равен
&Т — Anr2 (еА dr) = 4лг2 (1 — 2т/г)~1/1 dr, (4)
а не 4яг* dr. Отсюда полная масса покоя, содержащаяся внутри радиуса г, есть
Г Г
Tn0= j |x0ndT = j 4лг2(1— 2тп/г)~1/г|л0пdr, (5)
о о
а полная внутренняя энергия равна4,
Г Г
U = j (р — ц0и) dT' — j Anr2 (1 — 2mjr)~l/i (р — ^0W) dr. (6)
0 0
Вычтем т0 и U из полной массы-энергии т, оставшаяся величина должна быть гравитационной потенциальной энергией
Г Г
Q= — j р[(1 — 2m/r)-I/*— l]4nr2dr« — j (pm/r)Anr2dr. (7)
0 a 0
t
ньютоновский предел m/r <C I
(Cm. упражнение 23.7.)
§ 23.6. ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ
Вне звезды плотность и давление обращаются в нуль, поэтому необходимо рассматривать только метрические параметры Ф
А
и А = — у In (1 — 2т/г). Из уравнения (23.19) видно, что для
значений г, превышающих R (вне звезды), «масса внутри радиуса г», т(г), остается постоянной. Эта постоянная обозначается через M:
m(r) = M для г > R- (т. е. вне звезды). (23.25)
Интегрируя уравнение (23.21) при р = 0ът = М а налагая граничное условие (23.10) на Ф при г = оо («нормировка масштаба времени на г = оо»), находим
Ф(г)=-і-1п(1 — 2М/г) для г> Л. (23.26)
I
272 23ш Сферические звезды
Пространство-время вне авеады обладает «шварц-шнльдовокой» геометрией
Полная
масса-знерпш
авеады
Похнан система уравнений, описывающих внутреннее строение авеады
Следовательно, вне звезды геометрия пространства-времени (23.7) принимает вид
ds2 = — (l — ~7~) d{2 + [^Щї) + W + sin2 8 (23.27)
Она называется «шварцшильдовской геометрией» или «шварц-шильдовским гравитационным полем», или «шварцшильдовским линейным элементом», поскольку была открыта Карлом Щварц-шильдом [248] как точное решение уравнений поля Эйнштейна, причем он сделал это спустя несколько месяцев после формулировки Эйнштейном общей теории относительности.
В области пространства-времени г 2М, где геометрия приблизительно плоская, справедлива ньютоновская теория тяготения и ньютоновский потенциал равен
Ф = —Mlr для r>R, г^> 2М. (23.26Н)
Следовательно, M—масса, которая определяет кеплеровские движения планет в удаленном, ньютоновском гравитационном поле, т. е. это есть «полная масса-энергия» звезды (см. гл. 19 и 20). Поскольку метрика (23.27) вдали от звезды точно диаго-нальна (gtj = 0), полный момент импульса звезды должен равняться нулю. Этот результат означает, что внутренние движения у жидкости отсутствуют.
§ 23.7. КАК ПОСТРОИТЬ ЗВЕЗДНУЮ МОДЕЛЬ
Уравнения внутреннего строения звезды (23.16), (23.19), (23.21),
(23.22), соответствующие граничные условия (которые будут обсуждаться ниже) и линейный элемент имеют вид
Линейный элемент
ds2 = — е2ф dt2 -f- t — 2т!т s^n* ^dfyz) =
-f г2 (d02 + sin2 Qdfyz) для г > R. (23.27')
Уравнение для массы
Г
тп= j 4nr2pdr, причем тп (г = 0) = 0. (23.28а)
о
Уравнение гидростатического равновесия в форме OB
dp Г(Р + Р) (та-МягЗр) .
"г(г-йг'> ПрИЧеМ P(^ = O) = Pc =
центральное давление. (23.286)
§ 23.7. Как построить звездную модель 273
I
Уравнения состояния
P=P (га), (23.28в)
р = р (п). (23.28г)
Уравнение источника для Ф
= {тг^-2т) ¦ пРичем ф(r = R) = т 1п(1 —2М/Д).(23.28д)
Чтобы построить звездную модель, можно поступить следующим обравом.
Задать вначале уравнения состояния (23.28в) и (23.28г), значение давления рс в центре, а также произвольное (которое будет
позже перенормировано) значение Ф0 для Ф (г = 0). Граничные условия
р (г = 0) = рс, Ф (г = 0) = Ф0) т(г = 0) = 0
являются достаточными для однозначного определения решения связанных уравнений (23.28).
Проинтегрировать эти связанные уравнения от г = 0 до г, при котором давление обращается в нуль. [Уравнение (23.286) в форме OB гарантирует, что давление будет монотонно уменьшаться, пока уравнения состояния подчиняются разумному ограничению р 0 для всех р 0.] Точка, в которой давление достигает нуля, есть поверхность звезды, величина г в ней равна радиусу звезды R, а величина т — полной массе-энергии звезды М.
