Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
р (п, s) = р (п, s = 0) = р (п), р (п, s) = р (п, s 0) = р (п).
В сверхмассивной звезде (см. гл. 24) ситуация совсем другая. Давление и плотность энергии здесь полностью опред ляются температурой и энтропией. Однако в результате конвективного перемешивания в звезде устанавливается однородное независящее от радиуса распределение энтропии
s = const,
поэтому можно записать
р(п, S) = pa(n), P (п, s) — Pa (п).
/* \
— функции, зависящие в звезде от однородной —
энтропии s на барион
Во всех трех случаях — нейтронные звезды, белые карлики, сверхмассивные звезды — соотношения р (п) и р (п) рассматриваются как «уравнения состояния»; задавшись ими, можно определить внутреннее строение звезды без дальнейшего обращения к ее тепловым свойствам.
2) для белых караков
8) для сверхмас-
ОИВНЫХ ЗВЄ8Д
I
264 23. Сферические звезды
УПРАЖНЕНИЕ
Пять уравнений для пяти функций Ф, Л, р, р, п, определяющих внутреннее отроение авевды
Наиболее эффективный метод решения уравнений Эйнштейна
Вывод уравнения гидростатического равновесии
23.2. Собственные системы отсчета жидких элементов
а. Убедитесь, что уравнения (23.15а) и (23.156) определяют в каждом событии в пространстве-времени ортонормальную тетраду и ее дуальные базисные 1-формы.
б. Убедитесь, что компоненты 4-скорости жидкости относительно этих тетрад даются уравнениями (23.15в). Почему эти компоненты гарантируют, что тетрады образуют «собственные системы отсчета» жидких элементов?
в. Проверьте уравнения (23.15г) для компонент тензора энергии-импульса.
§ 23.5. УРАВНЕНИЯ ВНУТРЕННЕГО СТРОЕНИЯ ЗВЕЗДЫ
Внутреннее строение релятивистской звезды определяется пятью функциями радиуса г: метрическими функциями Ф (г), А (г), давлением р (г), плотностью массы-энергии р (г) и плотностью числа барионов п (г). Следовательно, для однозначного определения внутреннего строения звезды необходимо иметь пять уравнений для этих функций плюс граничные условия. Два уравнения внутреннего строения звезды — уравнения состояния P (и) и р (п) — нам уже известны. Оставшиеся три должны быть неотъемлемым содержанием уравнений поля Эйнштейна и закона локального сохранения энергии-импульса ; v = 0.
Известно, что закон локального сохранения энергии-импульса жидкости получается как тождество из уравнений поля Эйнштейна. Поэтому без потери информации можно задать все 10 уравнений поля и явно не учитывать закон локального сохранения энергии-импульса. Однако такой подход неэффективен.
Почти всегда уравнения T7Iiviv = O можно свести к виду, удобному для приложений, значительно легче, чем уравнения поля. Поэтому наиболее эффективный метод заключается в следующем:
1) определить 4 уравнения Tilv- v = 0; 2) определить достаточное число (6) уравнений поля для получения полного набора (6 + 4 = 10); 3) определить оставшиеся 4 уравнения поля Для проверки результатов «1» и «2».
Читатель курса 2 знает (§ 22.3), что уравнения T^- v = 0 для идеальной жидкости принимают особенно простой вид, если их спроектировать 1) на 4-скорость жидкости и и 2) ортогонально и. Проекция на и [UvT^x v = 0) дает локальный закон сохранения энергии (22.11а):
§ 23.5. У равнения внутреннего строения звезды, 265
I
где u = d/dr, т. е. т — собственное время вдоль мировой линии любого выбранного элемента жидкости. Для статической звезды или для любой другой статической системы обе стороны этого уравнения должны тождественно обращаться в нуль (собственная плотность любого жидкого элемента никогда не претерпевает изменений). Проекция V = 0 на направление, ортогональное и, дает уравнение
/инертная масса \ . /градиент давленияЛ
Ua единицу объема У х (^-ускорение) = - спроектированный ,
чперпендикулярно и/
т. е.
(Р + P) VuU = — [Vp + (Vup) и]
[см. уравнение (22.13)]. В применении к статической звезде это уравнение показывает, какой градиент давления необходим, чтобы удержать жидкий элемент от падения. Поскольку давление зависит только от г, важна лишь радиальная компонента этого уравнения. В шварцшильдовской системе координат радиальная компонента гласит [см. линейный элемент (23.7) и компоненты 4-скорости
(22.13)]:
(р + р) Ur- vuv = _(р + р) TarvUaU1* =
= —(р + P) T0r0U0U0 = (р + р) ф. г = —р, г- (23.17)
(Читатели курса 1 могут в конце параграфа вывести это уравнение с самого начала, упражнение 23.3.) В ньютоновском пределе Ф переходит в ньютоновский потенциал (поскольку g00 = —е2®« й; —1 —2Ф), а давление становится намного меньше, чем плотность массы-энергии; следовательно, уравнение (23.17) принимает вид
рф_ r = -P1 г. (23.17Н)
Это ньютоновское уравнение, описывающее баланс гравитационной силы и градиента давления.
Градиент давления, предотвращающий падение жидкого элемента, выступает в теории Эйнштейна как источник ускорения. Это ускорение является причиной того, что жидкий элемент, чтобы удержаться на мировой линии с фиксированным значением г, отклоняется от геодезического движения (от «опорной мировой линии»; от свободного падения в центр звезды). В ньютоновской теории за опорную мировую линию принимают мировую линию с фиксированным значением г, «гравитационную силу» рассматривают как силу, пытающуюся (безуспешно, поскольку она сбалансирована градиентом давления) столкнуть частицу с мировой линии с фиксированным значением г на геодезическую мировую линию. Величины ускорений, «действительно имеющих место» (теория Эйнштейна) или «пытающихся иметь место» (ньютоновская теория), в наинизшем Порядке одинаковы (но противопо-
