Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (оо) = 0 (23.10)
в метрике (23.7). (Математически эта связь налагается простым масштабным преобразованием t' = с последующим опуска-
нием штриха.)
Одним из «машинных» устройств, которые строят (мысленно) такую координату t и в процессе построения измеряют ее, является следующее. Наблюдатели, использующие радиолокаторы, уславливаются двигаться вдоль координатных линий г, 0, ф = const. Они достигают этого, приспосабливая свои скорости до тех пор, пока каждый не найдет, что радарное эхо от соседних наблюдателей или от «реперных» отсчетных точек в асимптотически плоском пространстве приходит через одинаковое время при каждом повторении. Эквивалентно, каждое возвращающееся эхо должно приходить без доплеровского сдвига; оно должно возвращаться с той же частотой, с которой было испущено. Затем вблизи пространственной бесконечности (вдали от звезды) устанавливаются задающие часы. Они сконструированы для измерения собственного времени (которое в данном случае является временем Минковского «на бесконечности») и испускают стандартный сигнал
2) г «измеряет» площадь поверхности сферы
S) t имеет S особых геометрических свойства
4) описание «машинного» устройства для измерения t
17*
260 23. Сферические звезды,
другие
координаты
возможны, RO
шварцшильдов-
окие являются
особенно
простыми
Вещество внутри звезды должно рассматриваться как идеальная жидкость
Параметры,
описывающие
идеальную
жидкость:
D р. р, «.
с частотой 1 Гц. Каждый наблюдатель настраивает темп хода своих «координатных часов» в соответствии с сигналами, которые он принимает от задающих часов. Чтобы установить нуль своих «координатных» часов теперь, когда темп их хода правилен, он синхронизует свои часы с задающими часами, учитывая координатное время At, требуемое для движения радиолокационных сигналов от задающих часов до него. [Для вычисления времени прохождения наблюдатель предполагает, что для радиолокационных СИГНаЛОВ (^отражения ^испускания) = (^возвращения™
— ^отражения) = А2, т. е. что эхо получается путем инверсии времени относительно отражающего события. Эта инвариантность относительно обращения времени позволяет отличить время і в метрике (23.7) от более общих координат t, допускаемых равенством (23.4).] Каждый наблюдатель, движущийся вдоль координатной линии (г, 0, ф = const), имеет теперь часы, которые измеряют временную координату t в его окрестности.
Вышеприведенное обсуждение устанавливает природу шварц-шильдовских координат, входящих в (23.7), с помощью их собственных геометрических свойств. Величины г и t не только соответственно радиальная и временная переменные (причем дідг и dldt являются соответственно пространственноподобным и временило добным векторами, которые ортогональны сферам, определяемым вращательной симметрией), они имеют особые свойства (4яг®= площадь поверхности; BgtlJdt = 0; д/дг • d/dt = gTt = 0; d/dt у. Xd/dt = gtf=—1 при г= оо); которые отличают их от других возможных выборов координат [г' =/(г), t' =t-\-F (г)]. He утверждается, что они являются единственными координатами, которые разумно называть г и t; альтернативный выбор («изотропные координаты») см. в упражнении 23.1. Однако шварцшильдовские координаты разумны, недвусмысленны, полезны и часто используются.
§ 23.4. ОПИСАНИЕ ВЕЩЕСТВА ВНУТРИ ЗВЕЗДЫ
Вещество внутри любой звезды с высокой точностью представляет собой идеальную жидкость. Сдвиговые напряжения пренебрежимо малы, и перенос энергии, определяемый по «гидродинамической шкале времени», также пренебрежимо мал. Поэтому при построении модели разумно описывать вещество параметрами идеальной жидкости в системе отсчета, покоящейся относительно жидкости:
р = р (г) = плотность массы-энергии; р = р (г) = изотропное давление; п = п (г) = плотность числа барионов; (23.11) ці* = ці* (г) = 4-скорость жидкости;
§ 23.4. Описание вёщества внутри звезды 261
yiiv — (р .j. р) unuv _j_ pgtifl/ _ тензор энергии-импульса
жидкости. (23.12)
(Обсуждение в рамках курса 1 см. в дополнении 5.1, а более подробное обсуждение в рамках курса 2 — в § 22.2 и 22.3.) Чтобы звезда была статической, каждый ее элемент должен всегда оставаться в покое в статической системе координат, т. е. каждый элемент должен двигаться вдоль мировой линий постоянных
г, 6, ф, иначе говоря, каждый элемент должен иметь следующие компоненты 4-скорости:
ur = drtdx = 0, и9 = dQldr = 0, и* = d<f Idx=O. (23.13а)
Нормировка 4-скорости
-I = U-U = gfivU^ — gttlSu* = — е2фи V
1)«
определяет тогда иг
Ut = dtldx = е-ф, u = e*4*’ dldt\
(23.136)
используя затем (23.136), общую форму (23.12) для тензора энергии-импульса и форму (23.7) для метрика, можно найти T^v:
T-ое = ре-*Ф Тгг = P6-SAi уев = рг-
T** = рг~2 sin
уаР = о, если а ф р.
(23.14)
Хотя эти компоненты тензора энергии-импульса в шварцпшльдов-ских координатах полезны для вычислений, наличие нормировочных множителей е_2ф, е_2А, г-2, г-2 sin_20 делает их неудобными для физических интерпретаций. Более удобны компоненты орто-нормальных тетрад, переносимых жидкими элементами («собственные системы отсчета», см. § 13.6):
