Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Масса «после сборки» M и масса той же жидкости, рассеянной на бесконечно удаленные друг от друга капельки, Млрежяе, приведены в таблице на стр. 276.
(5)
d (собственное время)
(6)
dt
для г>Д.
(7)
2MIR = (8я/3) P0R2.
(8)
-Rlim = (9/4) Mum = (Зпро)-1^, (2 M/R)Um = 8/9.
(9)
(10)
а = (3/8лр0)1/2.
(И)
[Cm. выше уравнение (4).] Вне звезды (шварцшильдовская) пространственная гео-
18*
I
276 23. Сферические звезда
1,0
>0,5
M = 0,636 M = 0,729 M = 0,838
M = 0,0828 '
Таблица
¦^прежде мала 0,0882 0,894 1,0913 1,374
M мала 0,0828 0,636 0,729 0,838 (критическая)
Разность (связь) -Mih 10 0,0054 0,258 0,362 0,536
Площадь поверхности «фор 4яг*:
1) монотонно увеянчивается от центра звезды наружу
§ 23.8. ГЕОМЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ДЛЯ СТАТИЧЕСКОЙ ЗВЕЗДЫ
Для высоко релятивистской звезды геометрия пространства-времени сильно отклоняется от плоской геометрии Евклида — Лоренца. Следовательно, нет априорной причины ожидать, что площадь поверхности 4яг2, а значит, и радиальная координата г будут монотонно увеличиваться при движении от центра звезды наружу. К счастью, уравнения внутреннего строения звезды гарантируют, что г будет монотонно увеличиваться от 0 в центре звезды до оо на
§ 23.8. Геометрия пространства-времени для статич. звезда 277
1
бесконечном расстоянии от звезды, поскольку р 0 и звезда статическая (находится в равновесии).
Монотонность г можно показать следующим образом. Введем в качестве новой радиальной координаты собственное расстояние / от центра звезды. В силу выражения для метрики (23.27') /иг связаны соотношением
dr = ± (1 — 2т!г)хШ. (23.29)
Заметим, что радиальная координата г равна нулю в центре звезды (где тп ~ г8) и по определению всегда' положительная величина. Поэтому сначала при движении от / = О наружу координата г должна увеличиваться с ростом затем r(S) может достичь максимума и начать уменьшаться лишь в точке, где отношение 2m/r становится равным единице [см. уравнение (23.29)]. Такое поведение г (-6) характерно для замкнутой модели Вселенной, т. е. 3-сферы с однородной плотностью и радиусом а, и мы можем представить функцию г(?) в виде
r(^) = a sin (//а)
[см. гл. 27, особенно диаграмму погружения из дополнения
27.2, п. А]. Согласно уравнениям поля, такая система должна быть динамичной. Здесь же мы рассматриваем систему, находящуюся в статистических условиях. К последней применимо уравнение гидростатического равновесия (23.286). Градиент давления в этом случае описывается выражением, содержащим в знаменателе множитель [1—2пг(г)/г]. Если в некоторой области звезды 2mir приближается к единице с увеличением -б, то градиент давления там становится таким большим, что переход к точке P = 0 (поверхность звезды) произойдет прежде, чем переход к любой точке, где величина 2тп(г)1г могла бы достичь единицы. Более того, аа поверхностью звезды m остается постоянной m (г) = M и величина 2тп(г)/г уменьшается. Следовательно, 2mir всегда меньше единицы и г(/) не может иметь максимума, что и требовалось доказать. (Подробное доказательство предлагается провести читателю, см. упражнение 23.9.)
Хотя радиус кривизны г и соответствующая площадь сферической поверхности 2яг2 монотонно увеличиваются от центра звезды наружу, скорость их роста отлична от скорости роста в плоском пространстве-времени. В плоском пространстве-времени скорость роста равна drId (собственное радиальное расстояние) = ArIdS = 1. В звезде она равна dr/dS = (I — 2m/r)1^ <Z 1. Поэтому, если бы некто поднимался по длинной лестнице из центра релятивистской звезды наружу, измеряя для каждого последовательного сферического слоя его шварцшильдовскую координату г («собственную длину окружности»/2я), он обнаружил бы, что эти значения г увеличиваются удивительно медленно.
Такое странное поведение легче всего представить себе с помощью «диаграммы погружения». Пытаться погрузить все искривленное четырехмерное многообразие в некоторое плоское пространство более высокой размерности — нелегкая задача. (Cm., однако,
2) увеличивается более медленно, чем в плоском пространстве-времени
Погружение пространства-времени в плоское пространство более высокой равмертюсти
I
278 23. Сферические звезда
Построение «диаграммы погружения» для экваториального сечения звезды
работы [249, 250] о глобальном погружении в пространство 5+1 измерений и работу [251] о локальном погружении в пространство 4+2 измерений, О невозможности погрузить неплоскую вакуумную метрику (Gliv = O) в плоское 5-мерное пространство см. в работе [252].) Поищем более простую картину [253]. В статической системе пространство в любой момент времени имеет одну и ту же 3-геометрию. Поэтому изобразим 3-пространство только в один момент времени t = const. Кроме того, в любой момент времени пространство обладает сферической симметрией. Следовательно, сечение, проведенное через центр г = 0 и делящее пространство на две симметричные половины (например, экваториальное сечение (0 = л/2), имеет такую же 2-геометрию, что и любое другое, проведенное через центр сечение (с любым выбранным углом наклона, т. е. с любым азимутом). Поэтому ограничимся рассмотрением 2-геометрии экваториального сечения; она описывается линейным элементом
