Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь у нас в руках 5 уравнений внутреннего строения звезды [2 уравнения состояния (23.16); уравнение (23.19), выражающее
т (г) = Y r (1 —е -2Л) в виде объемного интеграла от г; уравнение
источника (23.21) для Ф; уравнение гидростатического равновесия
(23.22) в форме OB] для 5 структурных функций р, р, п, Ф, Л. Если вышеописанная теория релятивистских звезд сформулирована правильно, тогда каждое из оставшихся 8 уравнений поля Эйнштейна G-g = 8лГ-g должно быть или бессодержательным («О = 0»), или следствием 5 уравнений внутреннего строения звезды. То, что это действительно так, можно проверить прямыми, но громоздкими вычислениями.
Для построения модели звезды наряду с уравнениями внутреннего строения необходимы также граничные условия. Чтобы облегчить постановку граничных условий, рассмотрим в следующем параграфе внешнее гравитационное поле звезды.
23.3. Закон локального сохранения энергии-импульса 1)
Запишите в шварцшильдовской системе координат (23.7) четыре компоненты уравнения = О для тензора энергии-импульса
(23.14). [Ответ: Только = О дает нетривиальный резуль-
тат, а именно уравнение (23.17).]
23.4. Тензор кривизны Эйнштейна2)
Вычислите компоненты тензора кривизны Эйнштейна Gap в шварцшильдовской системе координат. Выполните затем преобразование, чтобы получить компоненты G- g,, в ортонормальной системе отсчета (23.15а) и (23.156). [Cm. дополнение 8.6 или 14.2 и уравнение (14.7).]
1J Это упражнение предназначено для читателей, не изучавших гл. 22. а) Это упражнение предназначено для читателей, не изучавших гл. 14.
I
268 23. Сферические звезды
Уравненая внутреннего строения звеады, резюме
УПРАЖНЕНИЯ
в глубь звезды. Геометрический множитель [1—2m(r)/rP/2 в знаменателе (23.23) дополнительно увеличивает этот «самораз-гоняющийся» рост давления по направлению к центру.
Уместно кратко подытожить ситуацию: общая теория относительности по сравнению с ньютоновской теорией предсказывает в стационарном теле более мощные гравитационные силы. Эти силы наряду с другими важными эффектами могут подвергнуть гравитационному коллапсу некоторые белые карлики и сверх-массивные звезды в тех случаях (см. гл. 24), когда ньютоновская теория предсказывает устойчивое гидростатическое равновесие. Из анализа устойчивости элементарно следует, что не существует звезды в гидростатическом равновесии, для которой 2m(r)/r ^ 1 (иллюстрацию см. в дополнении 23.3, а обсуждение в § 23.8); этот критерий не имеет места в ньютоновской теории.
Теперь у нас в руках 5 уравнений внутреннего строения эвезды [2 уравнения состояния (23.16); уравнение (23.19), выражающее
тп (г) = -|-г (1 —е -®Л) в виде объемного интеграла от г; уравнение
источника (23.21) для Ф; уравнение гидростатического равновесия
(23.22) в форме OB] для 5 структурных функций р, р, п, Ф, Л. Если вышеописанная теория релятивистских звезд сформулирована правильно, тогда каждое из оставшихся 8 уравнений поля Эйнштейна G-g = 8пТ должно быть или бессодержательным («0 = 0»), или следствием 5 уравнений внутреннего строения звезды. То, что это действительно так, можно проверить прямыми, но громоздкими вычислениями.
Для построения модели звезды наряду с уравнениями внутреннего строения необходимы также граничные условия. Чтобы облегчить постановку граничных условий, рассмотрим в следующем параграфе внешнее гравитационное поле звезды.
23.3. Закон локального сохранения энергии-импульса 1)
Запишите в шварцшильдовской системе координат (23.7) четыре компоненты уравнения = 0 для тензора энергии-импульса
(23.14). [Ответ: Только Tix^p = О дает нетривиальный результат, а именно уравнение (23.17).]
23.4. Тензор кривизны Эйнштейна2)
Вычислите компоненты тензора кривизны Эйнштейна Gaр в шварцшильдовской системе координат. Выполните затем преобразование, чтобы получить компоненты G- в ортонормальной системе отсчета (23.15а) и (23.156). [Cm. дополнение 8.6 или 14.2 и уравнение (14.7).]
1J Это упражнение предназначено для читателей, не изучавших гл. 22.
2) Это упражнение предназначено для читателей, не изучавших гл. 14.
I
270 23. Сферические звезды
Дополнение 23.2. МАССА-ЭНЕРГИЯ ВНУТРИ РАДИУСА г
Полная масса-энергия M изолированной звезды полностью определена (гл. 19), но не полностью определено в общем случае распределение этой массы-энергии от точки к точке внутри звезды и в ее гравитационном поле (нет однозначного «гравитационного тензора энергии-импульса»). Это было решающим утверждением § 20.4 (курс 2).
В общем случае это утверждение справедливо. Однако для сферической звезды, и только для нее, дело обстоит иначе. Сферическая симметрия позволяет выбрать физически разумное распределение полной массы-энергии. В шварцшиль-довских координатах оно определяется формулой
T
«полная масса-энергия внутри радиуса г» ==m(r) = ^ 4nr2pdr. (1)
о
Эту формулу можно достаточно убедительно доказать, если только рассмотреть обобщение ее на случай зависящих от времени сферически симметричных звезд (пульсирующих, коллапсирующих или взрывающихся; см. гл. 26 и 32 и особенно упражнение 32.7). Для них получается, что об изменении со временем массы-энергии т, связанной с данным шаром вещества (с заданным числом барионов), можно судить лишь по тем локально измеримым потокам энергии, которые можно зарегистрировать на границе шара. [Такие потоки энергии могут представлять собой мощность, затрачиваемую силами давления на работу против передвижения граничной поверхности, или потоки тепла, или потоки излучения (фотонные или нейтринные). Однако, поскольку в силу сферической симметрии гравитационные волны не существуют (гл. 35 и 36), ни физическая интуиция, ни уравнения Эйнштейна не подсказывают нам, чтобы мы обращались к проблемам локализации гравитационно-волновой энергии.] Поэтому на энергию тп не налагается математическое условие локализации, а используется то обстоятельство, что перенос энергии (при таком определении т) обнаруживается локальными измерениями. [О математических деталях, связанных с m(r, t) в случае зависимости от времени, см. работы [184, 247] и упражнение 32.7.]
