Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
* Очевидно, что <р (х,у) — ху не является скаляром в смысле разд. 1.3, т. е. произведение ху неинвариантно относительно поворота вокруг оси z. Если потребовать инвариантность, то р необходимо положить равным 1/2. 64
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Упражнения
1. Определить, какие из приведенных сил
F — j -У +1 * F = I 1 —
F = Xxf {Г)+'wf (r) + ]yf(r)+tef(r),
F= і/і (X) + 3/2 <Й + к/з(2)
(здесь / (г), fi{x), /2(?/), /3 (z) —произвольные функции) носят потенциальный характер, указать физическую природу поля сил. Найти потенциал в тех случаях, когда это можно сделать. Указание. Обратить особое внимание на поведение F в начале координат.
2. Пусть B==^- = j J3I 7^* Ощ>еДеЛить А так, чтобы VxA = B. Одно из возможных решений
д _ 1У2 Ixz
3. Имеется равномерно (по объему) заряженная сфера радиусом а. Определить электростатический потенциал <р(г) для 0<><^оо. Замечание. В разд. 1.14 показано, что кулоновская сила, действующая на заряд, помещенный в точке г~го, зависит от заряда только для расстояний, меньших го» и не зависит от него для расстояний, превышающих го- Подчеркнем, что это справедливо для сферически симметричного распределения заряда.
4. Показать, что уравнения A = Y (В X г), В ^= V X А описывают произвольный постоянный вектор В.
А
к
1.14. ЗАКОН ГАУССА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА
Закон Гаусса. Точечный электрический заряд помещен в начало координат. Он создает электрическое поле E
С помощью (1.146) получим закон Гаусса, согласно которому поверхностный интеграл
q!eо заряд внутри V„ E *ав = { ^ w (1.147)
ь 0 заряд вне F,
о
J
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V, Используя теорему Гаусса в виде (1.94) (и опуская множитель q!4лє0), получаем, учитывая, что V.r0r~2~0 1.14. ЗАКОН ГАУССА. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА 65
(см. пример 2 к разд. 1.7), для поверхности, не охватывающей ^ начало координат, в котором подынтегральная функция неопределенна,
S V
(1.148)
Это доказывает закон Гаусса для случая, когда заряд лежит вне объема V.
Если поверхность S охватывает начало координат, можно построить малую сферу S' радиусом б с центром
Рис. 1.24. Исключение начала координат.
в начале координат (рис. 1.24). Чтобы не возникал вопрос, какая из поверхностей внутренняя, а какая наружная, шаровой слой, ограниченный сферами 5 и 5', имеет разрез, который связывает сферы S и S', в результате чего образуется односвязная замкнутая поверхность. Поскольку разрез можно сделать как угодно малым, вклад в поверхностный интеграл, обусловленный разрезом, стремится к нулю. Теперь уже можно применить теорему Гаусса к объему, заключенному между двумя поверхностями S и Sr:
5^+5
S Sr
T0^dar
-0.
(1.149) 66
ГЛАВА 3. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Можно оценить второй интеграл, полагая da' = —r0O2d?, где du — элемент телесного угла. Знак минус, в соответствии с разд. 1.10, фиксирует положительное направление нормали г0. В этом случае положительное направление rj соответствует отрицательному направлению рад и уса-вектора: Го — —г0. Интегрируя по всем углам, получаем
j JSj?l = _ J JVigida = _4я (1150)
S' S'
С учетом постоянного множителя в (1.146)
J
S
и закон Гаусса полностью доказан. Заметим, что поверхность 5 не обязательно должна быть сферической. Рассмотрим теперь распределенный заряд
<7=fp dr. (1.152)
V
Уравнение (1.151) справедливо, но под зарядом q нужно понимать полный заряд, заключенный внутри поверхности S:
Je^a-j-^-dx. \ (1.153)
S V
На основании теоремы Гаусса получаем
jv.E * (1.154)
V V
Поскольку выбор объема произволен, подынтегральные выражения должны быть равны
V'E —р/е0. (1.155)
Это соотношение — одно из уравнений Максвелла.
Можно пойти обратным путем и, используя приведенное уравнение Максвелла, доказать закон Гаусса.
Уравнение Пуассона. Если в уравнении (1.155) E заменить на —V(p, то получим уравнение Пуассона
V.V<p = —р/е0. • (1.156) ). 15, ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
67
При условии р = 0 оно приводится к известному уравнению Лапласа
V-V9 = O. (1.157)
Упражнения
1. Используя уравнения Максвелла, показать, что для статической системы (постоянный ток) магнитный векторный потенциал А удовлетворяет векторному уравнению Пуассона V2A = —[ij, если V-A = O.
2. Сформулировать закон Гаусса для двумерного случая, для
In т « ** го
которого ф=— q g^rj-, ~~ cP^^' ГДЄ ?~~заРяд> отнесенный к единице длины, а двумерная система представляет собой цилиндрический слой единичной толщины; г—расстояние по радиусу от точки измерения до осевой линии.
3. Получить закон Гаусса из уравнения Максвелла (1.155).
Г Предполагая электрическое поле точечного заряда q сферически симметричным, показать, что из закона Гаусса следует закон Кулона
<7Г0 _ 4яеог2 *
1.15. ТЕОРЕМА ГЕЛЬМГОЛЬЦА
В разд. 1.13 было указано, что выбор магнитного векторного потенциала А неоднозначен. Дивергенция А осталась неопределенной. В этом разделе докажем две теоремы о дивергенции и роторе вектора.
Вектор внутри некоторой области можно определить однозначно заданием его дивергенции, ротора и нормальной компоненты на границе этой области. Положим
