Математические методы в физике - Арфкен Г.
Скачать (прямая ссылка):
a) jtpdr, б) Jv-dr, в) j V X dr, (1.85)
где интегрирование ведется по некоторому контуру С, открытому или замкнутому. Интеграл со скаляром ф сразу 1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
45
же сводится к обычным интегралам
+ k I ф(я, у, z) dz.
(1.86)
Такое разбиение первоначального интеграла возможно благодаря равенству
которое записано с учетом свойства единичных векторов І, j и к, остающихся в прямоугольной системе координат постоянными по величине и направлению. Для прямоугольных координат это достаточно очевидно, однако для криволинейных координат (см. гл. 2) данное утверждение теряет силу.
Три интеграла в правой части уравнения (1.86) представляют собой обычные скалярные интегралы и, опуская доказательства, можно принять, что они являются интегралами Римана. Подчеркнем, однако, что интеграл по переменной X нельзя вычислять, не зная зависимости у и z от X1 то же следует заметить и относительно интегралов от других переменных. Это ясно говорит о необходимости точно определить контур интегрирования С. Если только подынтегральная функция не обладает специальными свойствами (в результате чего интеграл будет зависеть только от Положения конечных точек контура), значение интеграла определяется особенностями выбора контура С. Например, для частного случая ф — 1 интеграл (1.85а) будет точным векторным расстоянием от начала контура С до его конечной точки; в этом случае значение интеграла не зависит от выбора пути интегрирования между фиксированными концами. При dr = Ых jTjdy+ kdz второй и третий интегралы, рассмотренные выше, тоже приводятся к интегралам от скалярных величин и, так же как и интеграл (1.85а), зависят от выбора пути интегрирования. Интеграл (1.856) точно равен интегралу, который определяет работу, произведенную силой на заданном отрезке пути:
(1.87)
к
W =
-J F.*,
(1.88) 46
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
где F — сила, действующая на частицу или на любой другой объект, который перемещается в поле сил (электростатических, гравитационных и т. д.).
Пример. Проинтегрируем скалярную функцию г2=X2-J-I/2 от начала координат до точки (1,1), используя приращение длины dr,
' (1.1)
т. е. вычислим интеграл f (*2 + */2) dr. Если разложить dr, то интег-
(0,0)
рал примет вид (1,1) (1,1) (1,1)
j (# + tP){\dx+ldy) = l ] (*2 + </2)dx + j j (x2-\-y2)dy. (0,0) (0,0) (0,0)
Интегрирование проведем по контуру, изображенному на рис. 1.17. Такой выбор означает, что в первом интеграле у=0 и во вто-
ром. Подставляя указанные значения в интегралы, получаем
(1,1) 1 1
J (x2 + i/2)dr=i J + j (*2 + y*)dy =
(0,0) (0,1/=0) (0,^=1)
1 4
* * I • 1
='T+>-3-
Читатель может убедиться, что при контуре интегрирования (0, 0) —> —> (0, 1) —^ (1, 1) интеграл оказывается равным і (4/3) +j (1/3),
тогда как интегрирование по кон-Wi туру х—у приводит к значению
(1,1) і (2/3) +j (2/3). Таким образом, зна-
чение интеграла зависит от выбора контура, вдоль которого производят интегрирование.
Поверхностные интегралы записываются так же, как и линейные, только dr заменя-У" ют вектором da *. Часто этот элемент поверхности записы-Рис. 1.17. Контур интегриро- Вают в виде ndA, гдеп —еди-вания- ничный (нормальный) вектор
положительного направления. Имеется два варианта выбора положительного направления. Если поверхность замкнута; условимся называть положительным направление из объема, ограниченного этой поверхностью. Для открытых поверхностей будем считать, что
* Напомним, что в разд. 1.4 поверхность параллелограмма представлена векторным произведением.
M 1.10. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЕКТОРОВ
47
положительное направление зависит от направления обхода периметра этой поверхности. Если пальцы правой руки расположить в направлении обхода по границе поверхности, то направление большого пальца совпадает с положительным направлением. Например, рассмотрим круг в плоскости ху (рис. 1.18), обход по границе которого совершается в последовательности дг-> у--X ->—у —X7
в этом случае положительная нормаль параллельна положительной оси г (в случае правой системы координат). Поверхностный интеграл
V-do можно интерпретиро-
J
Рис. 1.18. Правило правой руки при выборе положительного направления.
вать как поток через данную поверхность. (В разд. 1.7 с помощью этого потока проиллюстрирована физическая сущность дивергенции. Эта тождественность вновь проявится в раз^. 1.11 при доказательстве теоремы Гаусса.)
Объемные интегралы несколько проще, так как элемент объема dx — скаляр. В этом случае объемный интеграл вновь распадается на векторную сумму "интегралов от скалярных величин
j Vdt - і jKxdr + j J Vydx + k^Vz dx. (1.89)
V V V У
С помощью поверхностных и объемных интегралов можно определить дифференциальные соотношения иначе:
Г (р da Vtp= lim J
Jdt-^O
V-V= lim. J dx-+o
VxV- lim Jdt-j-0
I V-da
7їг-
I da X V
(1.90)
(1.91)
(1.92) 48
ГЛАВА 1. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ
В этих трех уравнениях ^ dx — некоторый малый объем
пространства, da — векторный элемент поверхности этого объема. В разд. 1.7 уже было показано, что выражение (1.91) определяет дивергенцию. Покажем теперь, что выражение (1.90) в действительности соответствует ранее введенной уравнением (1.53) величине V(p. Для простоты заменим ^dx дифференциальным объемом dx dy dz (рис. 1.19)
